Bài 3.4 trang 107 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 3.4 trang 107 sách bài tập đại số và giải tích 11. Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N*)...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh các bất đẳng thức sau (\(n \in N*\))

LG a

\({2^{n + 2}} > 2n + 5{\rm{ }};\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 1\) thì \({2^{1 + 2}} = 8 > 7 = 2.1 + 5.\)

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k \ge 1,\) tức là \({2^{k + 2}} > 2k + 5{\rm{     }}\left( 1 \right)\)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với \(n = k + 1,\) tức là \({2^{k + 3}} > 2\left( {k + 1} \right) + 5\) hay

\({2^{k + 3}} > 2k + 7{\rm{        }}\left( 2 \right)\)

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

\({2^{k + 3}} > 4k + 10 = 2k + 7 + 2k + 3.\)

Vì \(2k + 3 > 0\) nên\({2^{k + 3}} > 2k + 7\left( {dpcm} \right).\)

LG b

\({\sin ^{2n}}\alpha  + {\cos ^{2n}}\alpha  \le 1.\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 1\) thì \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1,\) bất đẳng thức đúng.

Giả sử đã có \({\sin ^{2k}}\alpha  + {\cos ^{2k}}\alpha  \le 1\) với \(k \ge 1,\) ta phải chứng minh \({\sin ^{2k + 2}}\alpha  + {\cos ^{2k + 2}}\alpha  \le 1.\)

Thật vậy, ta có

\({\sin ^{2k + 2}}\alpha  + {\cos ^{2k + 2}}\alpha \) \( = {\sin ^{2k}}\alpha .{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^{2k}}\alpha .{\cos ^2}\alpha \) \( \le {\sin ^{2k}}\alpha  + {\cos ^{2k}}\alpha  \le 1.\)

 Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài