Bài 3.53 trang 78 SBT đại số 10

Đề bài

Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}2x+(3m + 1)y = m - 1\\(m + 2)x + (4m + 3)y = m\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

Nhân phương trình thứ nhất của hệ với m + 2, nhân phương trình thứ hai với 2 ta được hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}2(m + 2)x + (3m + 1)(m + 2)y = (m - 1)(m + 2)\\2(m + 2)x + 2(4m + 3)y = 2m\end{array} \right.$

Trừ hai phương trình vế theo vế ta được phương trình:

$\begin{array}{l} \left( {3m + 1} \right)\left( {m + 2} \right)y - 2\left( {4m + 3} \right)y = \left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) - 2m\\ \Leftrightarrow \left( {3{m^2} + 7m + 2} \right)y - \left( {8m + 6} \right)y = {m^2} + m - 2 - 2m\\ \Leftrightarrow \left( {3{m^2} + 7m + 2 - 8m - 6} \right)y = {m^2} - m - 2\\ \Leftrightarrow \left( {3{m^2} - m - 4} \right)y = {{m^2} - m - 2} \end{array}$

$\Leftrightarrow (m+1)(3m-4)y = (m + 1)(m - 2)$ (1)

+Với  $m =  - 1$ phương trình (1) có dạng:

$0y = 0$

Phương trình này nhận mọi giá trị thực của y làm nghiệm.

Lúc đó thay $m =  - 1$ vào hệ phương trình đã cho, hai phương trình trở thành một phương trình.

$x - y =  - 1$ $\Leftrightarrow y = x + 1$, $x$  tùy ý.

+Với  $m = \dfrac{4}{3}$ phương trình (1) có dạng.

$0y =  - \dfrac{{14}}{9}$.

Phương trình này vô nghiệm, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

+Với $m \ne  - 1$ và $m \ne \dfrac{4}{3}$, phương trình (1) có nghiệm duy nhất

$y = \dfrac{{m - 2}}{{3m - 4}}$

Thay vào một trong hai phương trình của hệ đã cho ta suy ra

$x = \dfrac{{ - m + 3}}{{3m - 4}}$.

Kết luận

$m = \dfrac{4}{3}$: Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

$m =  - 1$: Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm

$x = a,y = a + 1$, a là số thực tùy ý.

$m \ne  - 1$,$m \ne \dfrac{4}{3}$: Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y) = (\dfrac{{3 - m}}{{3m - 4}};\dfrac{{m - 2}}{{3m - 4}})$

Loigiaihay.com