Bài 3.36 trang 164 SBT hình học 10

Đề bài

Cho elip (E) : \(4{x^2} + 9{y^2} = 36\) và điểm \(M\left( {1;1} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\) và cắt \((E)\) tại hai điểm \(A\) và \(B \) sao cho \(M\) là trung điểm của \(AB\).

Lời giải chi tiết

\((E)\) : \(4{x^2} + 9{y^2} = 36\).   (1)

Xét đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {1;1} \right)\) và có hệ số góc \(k\).

Ta có phương trình của \(d:y - 1 = k(x - 1)\) hay \(y = k(x - 1) + 1\)              (2)

Thay (2) vào (1) ta được \(4x^2 + 9{\left[ {k(x - 1) + 1} \right]^2} = 36\)

Ta có : d cắt (E) tại hai điểm A, B thỏa mãn

MA = MB khi và chỉ khi phương trình (3) có hai nghiệm \({x_A}\), \({x_B}\) sao cho :

\(\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = {x_M}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{ 18k(k-1)}}{{2(9{k^2} + 4)}} = 1\) \( \Leftrightarrow 18{k^2} - 18k = 18{k^2} + 8\) \( \Leftrightarrow k =  - \dfrac{4}{9}\).

Vậy phương trình của \(d\) là :

\(y =  - \dfrac{4}{9}\left( {x - 1} \right) + 1\) hay \(4x + 9y - 13 = 0.\)

Loigiaihay.com