Bài 26 trang 67 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường thẳng

 $y = ax + b$                   (d)

$y = a’x + b’$                 (d’)

Chứng minh rằng :

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ , hai đường thẳng (d) và (d’) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a. a’ = 1.

Lời giải chi tiết

Qua gốc tọa độ, kẻ đường thẳng $y = ax$ // (d) và $y = ax$ // (d’).

*Chứng minh (d) vuông góc với (d’) thì $a. a’ = -1$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a > 0$

Khi đó góc tạo bởi tia $Ox$ và đường thẳng $y = ax$ là góc nhọn.

Suy ra góc tạo bởi tia $Ox$ và đường thẳng $y = a’x$ là góc tù ( vì các góc tạo bởi đường thẳng $y = ax$ và đường thẳng $y = a’x$ với tia $Ox$ hơn kém nhau $90^0).$

Suy ra: $a’ < 0$

Mà đường thẳng $y = ax$ đi qua $A(1;a)$, đường thẳng $y = a’x$ đi qua $B(1;a’)$

nên đoạn $AB$ vuông góc với $Ox$ tại điểm H có hoành độ bằng $1.$

Vì $\left( {\rm{d}} \right) \bot \left( {{\rm{d'}}} \right)$ nên hai đường thẳng $y = ax$ và $y = a’x$ vuông góc với nhau

Suy ra: $\widehat {AOB} = {90^0}$

Tam giác vuông AOB có $OH \bot AB$. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : $O{H^2} = HA.HB$

Hay: $a.\left| {a'} \right| = 1 \Leftrightarrow a.\left( { - a'} \right) = 1 \Leftrightarrow a.a' =  - 1$

Vậy nếu (d) vuông góc với (d’) thì $a.a’ = -1$

*Chứng minh $a.a' =  - 1$ thì (d) vuông góc với (d’)

Ta có : $a.a' =  - 1$$\Leftrightarrow a.\left| {a'} \right| = 1$ hay $HA.HB = O{H^2}$

Suy ra: $\dfrac{{HA}}{{OH}} = \dfrac{{OH}}{{HB}}$ mà $\widehat {OHA} = \widehat {OHB} = {90^0}$

Suy ra: $\Delta OHA$ đồng dạng $\Delta BHO$$\Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {OBH}$

Mà $\widehat {OBH} + \widehat {BOH} = {90^0}$$\Rightarrow \widehat {AOH} + \widehat {BOH} = {90^0}$$\Rightarrow \widehat {AOH}=90^0$

Suy ra $OA \bot OB$ hay hai đường thẳng $y = ax$ và $y = a’x$ vuông góc với nhau.

Vậy $\left( {\rm{d}} \right) \bot \left( {{\rm{d'}}} \right)$.

Loigiaihay.com