Bài 2.36 trang 79 SBT đại số và giải tích 11Giải bài 2.36 trang 79 sách bài tập đại số và giải tích 11. Xác định hệ số của số hạng chứa x... Quảng cáo
Đề bài Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n}\) nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng \(97\). Phương pháp giải - Xem chi tiết Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn: \({\left( {a + b} \right)^n} \) \(= C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... \) \(+ C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\) với \(a=x^2, b=-\dfrac{2}{x}\). Tính tổng các hệ số của ba số hạng đầu đồng nhất với giá trị đề bài cho để tìm \(n\). Sau đó thay \(n\) vào khai triển \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n}\) sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số, sử dụng công thức lũy thừa của lũy thừa: \(x^m.x^n=x^{m+n}\); \(\dfrac{x^m}{x^n}=x^{m−n}\); \({\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha .\beta }}\) để thu gọn biểu thức. Để tìm hệ số của \(x^4\) ta cho số mũ của \(x\) bằng \(4\), giải phương trình tìm \(k\) và tính hệ số của \(x^4\). Quảng cáo  Lời giải chi tiết Ta có \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n} = C_n^0{\left( {{x^2}} \right)^n} +\) \(C_n^1{\left( {{x^2}} \right)^{n - 1}}.\left( { - \dfrac{2}{x}} \right) +\) \(C_n^2{\left( {{x^2}} \right)^{n - 2}}.{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)^2} + ...\) Theo giả thiết, ta có: \(\begin{array}{l}C_n^0 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 97\\ \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n\left( {n - 1} \right) - 97 = 0\\ \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 48 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\\n = - 6{\rm{ }}\left( \text{loại} \right)\end{array} \right.\end{array}\) Vậy \(n = 8.\) Từ đó ta có: \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^8} \) SHTQ: \(T_{k+1}= {C_8^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{8 - k}}{{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)}^k} }\) \( = C_8^k.{x^{16 - 2k}}.\frac{{{{\left( { - 2} \right)}^k}}}{{{x^k}}} \) \(= C_8^k{x^{16 - 2k - k}}{\left( { - 2} \right)^k}\) \(={{{\left( { - 2} \right)}^k}.C_8^k.{x^{16 - 3k}}} \). Số hạng chứa \(x^4\) ứng với \(16 - 3k = 4 \Leftrightarrow k = 4.\) Do đó hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) là \({\left( { - 2} \right)^4}.C_8^4 = 1120\). Loigiaihay.com  Chia sẻ Bình luận
Quảng cáo
2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!
|
