Bài 1.39 trang 38 SBT hình học 11

Đề bài

Gọi \(A',B',C'\) tương ứng là ảnh của ba điểm \(A,B,C\) qua phép đồng dạng tỉ số \(k\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {A'C'}  = {k^2}\overrightarrow {AB.} \overrightarrow {AC} \).

Lời giải chi tiết

Theo định nghĩa của phép đồng dạng ta có \(B'C' = kBC\), từ đó suy ra \(B'C{'^2} = {k^2}B{C^2}\). 

\( \Rightarrow {\left( {\overrightarrow {A'C'}  - \overrightarrow {A'B'} } \right)^2} = {k^2}{\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)^2}\)

\( \Rightarrow A'C{'^2} - 2\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'}  + A'B{'^2}\)\( = {k^2}\left( {A{C^2} - 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  + A{B^2}} \right)\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow A'C{'^2} - 2\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'} + A'B{'^2}\\
= {k^2}A{C^2} - 2{k^2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + {k^2}A{B^2}
\end{array}\)

Mà \(A'C{'^2} = {k^2}A{C^2},A'B{'^2} = {k^2}A{B^2}\) nên:

\(\begin{array}{l}
A'C{'^2} - 2\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'} + A'B{'^2}\\
= A'C{'^2} - 2{k^2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + A'B{'^2}\\
\Leftrightarrow - 2\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'} = - 2{k^2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'} = {k^2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}
\end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'}  = {k^2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \) (đpcm).

Loigiaihay.com