Bài 1.38 trang 38 SBT hình học 11

Giải bài 1.38 trang 38 sách bài tập hình học 11. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là một hình thang cân.

Quảng cáo

Đề bài

Qua tâm \(G\) của tam giác đều \(ABC\), kẻ đường thẳng \(a\) cắt \(BC\) tại \(M\) và cắt \(AB\) tại \(N\), kẻ đường thẳng \(b\) cắt \(AC\) tại \(P\) và \(AB\) tại \(Q\), đồng thời góc giữa \(a\) và \(b\) bằng \(60^\circ \). Chứng minh rằng tứ giác \(MPNQ\) là một hình thang cân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xét phép quay tâm \(G\) góc quay \({120^0}\) và nhận xét.

Lời giải chi tiết

Gọi \({Q_{\left( {G;{{120}^0}} \right)}}\) là phép quay tâm \(G\) góc \({120^0}\).

Phép quay này biến \(b\) thành \(a\), biến \(CA\) thành \(AB\).

Mà \(P = b \cap CA,N = a \cap AB\) nên \({Q_{\left( {G,{{120}^0}} \right)}}\left( P \right) = N\).

Tương tự \({Q_{\left( {G;{{120}^0}} \right)}}\left( Q \right) = M\) suy ra \(GP = GN,GQ = GM\).

\( \Rightarrow \Delta GNQ = \Delta GPM \Rightarrow NQ = PM\)

Vì \({Q_{\left( {G;{{120}^0}} \right)}}\) biến \(PQ\) thành \(NM\) nên \(PQ = NM\).

Từ đó suy ra hai tam giác \(NQM\)và \(PMQ\) bằng nhau. Do đó \(\widehat {NQM} = \widehat {PMQ}\).

Tương tự \(\widehat {QNP} = \widehat {MPN}\).

Từ đó suy ra \(\widehat {PNQ} + \widehat {NQM} = {180^0}\)

Do đó \(NP\parallel QM\). Vậy ta có tứ giác \(MPNQ\) là hình thang cân.

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài