Bài 1.1 phần bài tập bổ sung trang 23 SBT toán 9 tập 1

Giải bài 1.1 phần bài tập bổ sung trang 23 sách bài tập toán 9. Không dùng bảng số hoặc máy tinh bỏ túi, hãy so sánh ....

Quảng cáo

Đề bài

Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh \(\dfrac{1}{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }}\) với \(\sqrt 5  + 1\).   

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Trục căn thức ở mẫu: 

Với \(\sqrt A  \ne \sqrt B \) 

\(\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{\sqrt A - \sqrt B }} = \dfrac{{\sqrt A + \sqrt B }}{{A - B}}
\end{array}\) 

So sánh: Với \(A, B\ge 0\) thì \(A^2<B^2 \Rightarrow A<B\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} \\= \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}}\\
= \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{3 - 2}} = \sqrt 3 + \sqrt 2
\end{array}\)  

So sánh \(\sqrt 3  + \sqrt 2 \) và \(\sqrt 5  + 1\)

Xét \(A = \sqrt 3  + \sqrt 2 >0\)

\({A^2} = {(\sqrt 3  + \sqrt 2 )^2} \)\(= 3+ 2\sqrt 3.\sqrt 2+2=5 + 2\sqrt 6 \) 

\({A^2} - 5 = 2\sqrt 6 \)

Xét \(B = \sqrt 5  + 1>0\)

\({B^2} = {(\sqrt 5  + 1)^2} \)\(=5+ 2\sqrt 5.1+1= 6 + 2\sqrt 5 \)

\({B^2} - 5 = 1 + 2\sqrt 5 \)

Ta so sánh: \(2\sqrt 6 \) và \(1 + 2\sqrt 5 \)

\({(2\sqrt 6 )^2} = 24=21+3\)

\({(1 + 2\sqrt 5 )^2} \)\(=1+ 2.1.2\sqrt 5 +20=21 + 4\sqrt 5 \)

Do \(3<4\) và \( \sqrt 5>1\) nên \(3 < 4\sqrt 5  \Rightarrow 24 < 21 + 4\sqrt 5 \)

\(\Rightarrow 2\sqrt 6 < 1 + 2\sqrt 5 \)

Vậy 

\(\begin{array}{l}
{A^2} - 5 < {B^2} - 5\\
\Leftrightarrow {A^2} < {B^2}\\ \Rightarrow A<B
\end{array}\)

Hay \(\dfrac{1}{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }} < \sqrt 5  + 1\). 

Loigiaihay.com

Quảng cáo
Gửi bài