Bài 104 trang 23 SBT toán 9 tập 1

Giải bài 104 trang 23 sách bài tập toán 9. Tìm số x nguyên để biểu thức (căn x +1)/(căn x - 3).

Quảng cáo

➡ Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay! Góp ý ngay!💘

Đề bài

Tìm số \(x\) nguyên để biểu thức \({\dfrac{\sqrt x  + 1}{\sqrt x  - 3}}\) nhận giá trị nguyên. 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tìm giá trị \(x\) nguyên để biểu \(A\) thức nguyên, thực hiện các bước sau:

Bước 1: Phân tích \(A = m + \dfrac{n}{{f(x)}}\) (với \(m;n \in {\rm Z}\))

Bước 2: \(f(x) \in \) Ư(\(n\)). Tìm các ước của \(n\), xét các trường hợp và tìm \(x\) phù hợp điều kiện.

Bước 3: Kết luận các trường hợp thỏa mãn. 

Lời giải chi tiết

Điều kiện: \(x\ge 0, x\ne 9\) 

Ta có:

\(\eqalign{
& {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x - 3}} = {{\sqrt x - 3 + 4} \over {\sqrt x - 3}} \cr 
& = 1 + {4 \over {\sqrt x - 3}} \cr}\)                   

Để \({1 + \dfrac{4}{{\sqrt x  - 3}}}\) nhận giá trị nguyên thì \(\dfrac{4}{{\sqrt x  - 3}}\) phải có giá trị nguyên.

Vì \(x\) nguyên nên \(\sqrt x \) là số nguyên hoặc số vô tỉ.

*Nếu \(\sqrt x \) là số vô tỉ thì \(\sqrt x  - 3\) là số vô tỉ nên \(\dfrac{4}{{\sqrt x  - 3}}\) không có giá trị nguyên.

Trường hợp này không có giá trị nào của \(x\) để biểu thức nhận giá trị nguyên.

*Nếu \(\sqrt x \) là số nguyên thì \(\sqrt x  - 3\) là số nguyên. Vậy để \(\dfrac{4}{{\sqrt x  - 3}}\) nguyên thì \(\sqrt x  - 3\) phải là ước của 4.

Đồng thời \(x \ge 0\) suy ra: \(\sqrt x  \ge 0\)

Ta có: Ư(4) = \({\rm{\{ }} - 4; - 2; - 1;1;2;4{\rm{\} }}\)

Suy ra: \(\sqrt x  - 3 =  - 4 \Rightarrow \sqrt x  =  - 1\) (loại)

\(\eqalign{
& \sqrt x - 3 = - 2 \Rightarrow \sqrt x = 1 \Rightarrow x = 1(tm) \cr  
& \sqrt x - 3 = - 1 \Rightarrow \sqrt x = 2 \Rightarrow x = 4 (tm)\cr 
& \sqrt x - 3 = 1 \Rightarrow \sqrt x = 4 \Rightarrow x = 16 (tm)\cr 
& \sqrt x - 3 = 2 \Rightarrow \sqrt x = 5 \Rightarrow x = 25 (tm)\cr 
& \sqrt x - 3 = 4 \Rightarrow \sqrt x = 7 \Rightarrow x = 49 (tm)\cr} \)

Vậy với \(x \in {\rm{\{ }}1;4;16;25;49\} \) thì biểu thức \({\dfrac{\sqrt x  + 1}{\sqrt x  - 3}}\) nhận giá trị nguyên. 

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài tập - Có ngay lời giải