Đề thi học kì 2 Toán 11 Cánh diều - Đề số 1Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.Đề bài
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 :
Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{{12}^{5 + \sqrt 3 }}}}{{{2^{5 + 2\sqrt 3 }}{{.3}^{7 + \sqrt 3 }}}}\).
Câu 2 :
Chọn đáp án đúng:
Câu 3 :
Một chất điểm chuyển động có phương trình \(s\left( t \right) = {t^2} + 2t\) (\(t\) tính bằng giây, \(s\) tính bằng mét). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \(t = 3s\)bằng.
Câu 4 :
Cho hàm số \(y = 2\sin x - 3\cos x + 3\)có đạo hàm\(y' = a\cos x + b\sin x + c\).Khi đó \(S = 2a + b - c\) có kết quả bằng:
Câu 5 :
Hàm số \(y = \sqrt {2 + 2{x^2}} \)có đạo hàm \(y' = \frac{{a + bx}}{{\sqrt {2 + 2{x^2}} }}\). Khi đó \(S = a - 2b\) có kết quả bằng
Câu 6 :
Có hai túi đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Túi I có 3 viên bi màu xanh và 7 viên bi màu đỏ. Túi II có 10 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Xác suất để hai viên bi được lấy có cùng màu xanh bằng:
Câu 7 :
Cho hàm số \(y = - {x^3} + 3x - 2\) có đồ thị \(\left( C \right).\)Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục tung là
Câu 8 :
Cho mẫu số liệu về thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của một số học sinh như sau:
Tìm trung vị của mẫu số liệu trên?
Câu 9 :
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, \(SA = SC\). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Góc giữa hai đường thẳng SO và IK bằng:
Câu 10 :
Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC. Qua S kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cắt mặt phẳng đó tại H. Khi đó, góc giữa SH và MP bằng bao nhiêu độ?:
Câu 11 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = x. Tìm x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau một góc 60°
Câu 12 :
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng với chiều cao. Tính góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy?
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1 :
Một cuộc thi bắn súng, có 3 người tham gia thi. Trong đó xác suất bắn trúng của người thứ nhất là 0,9; người thứ 2 là 0,7 và người thứ 3 là 0,8. a) Xác suất để cả ba người đều bắn trúng là 0,504
Đúng
Sai
b) Xác suất để đúng 2 người bắn trúng là 0,398
Đúng
Sai
c) Xác suất để không người nào bắn trúng là 0,006
Đúng
Sai
d) Xác suất để ít nhất một người bắn trúng là 0,856
Đúng
Sai
a) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\left[ {20;25} \right)\)
Đúng
Sai
b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là \(\left[ {40;45} \right)\)
Đúng
Sai
c) Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1} = 21,25\)
Đúng
Sai
d) Tứ phân vị thứ ba \({Q_3} = 34,29\)
Đúng
Sai
Câu 3 :
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). a) \(CD \bot (SHM)\)
Đúng
Sai
b) \(AC \bot (SHM)\)
Đúng
Sai
c) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) là \(\frac{{\sqrt {21} }}{7}\)
Đúng
Sai
d) Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) là \(\frac{{\sqrt {21} }}{{14}}\)
Đúng
Sai
Câu 4 :
Cho hàm số \(y = \sqrt {2x - {x^2}} .\) a) Đạo hàm của hàm số là \(y' = (\sqrt {2x - {x^2}} )' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\)
Đúng
Sai
b) Biểu thức \(y'(1) = 0\)
Đúng
Sai
c) Biểu thức \(y''1) = 0\)
Đúng
Sai
d) \({y^3}y'' + 1 = 0,\forall x \in (0;2).\)
Đúng
Sai
Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Lời giải và đáp án
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 :
Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{{12}^{5 + \sqrt 3 }}}}{{{2^{5 + 2\sqrt 3 }}{{.3}^{7 + \sqrt 3 }}}}\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng công thức mũ và lũy thừa để tính. Lời giải chi tiết :
\(A = \frac{{{{12}^{5 + \sqrt 3 }}}}{{{2^{5 + 2\sqrt 3 }}{{.3}^{7 + \sqrt 3 }}}} = \frac{{{4^{5 + \sqrt 3 }}{{.3}^{5 + \sqrt 3 }}}}{{{2^{5 + 2\sqrt 3 }}{{.3}^{7 + \sqrt 3 }}}} = \frac{{{2^{10 + 2\sqrt 3 }}{{.3}^{5 + \sqrt 3 }}}}{{{2^{5 + 2\sqrt 3 }}{{.3}^{7 + \sqrt 3 }}}} = \frac{{{2^5}}}{{{3^2}}} = \frac{{32}}{9}\). Đáp án B.
Câu 2 :
Chọn đáp án đúng:
Đáp án : B Phương pháp giải :
\(\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left| a \right|\) khi n chẵn (với các biểu thức đều có nghĩa). Lời giải chi tiết :
\(\sqrt[8]{{{{\left( {x - 1} \right)}^8}}} = \left| {x - 1} \right|\) Đáp án C.
Câu 3 :
Một chất điểm chuyển động có phương trình \(s\left( t \right) = {t^2} + 2t\) (\(t\) tính bằng giây, \(s\) tính bằng mét). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \(t = 3s\)bằng.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Phương trình vận tốc của chất điểm: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right)\) Lời giải chi tiết :
\(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = ({t^2} + 2t)' = 2t + 2\) Tại thời điểm \(t = 3s\), vận tốc tức thời của chất điểm là: \(v = 2.3 + 2 = 8\) Vậy tại thời điểm \(t = 3s\)vận tốc tức thời của chất điểm là \(8m/s.\) Đáp án C.
Câu 4 :
Cho hàm số \(y = 2\sin x - 3\cos x + 3\)có đạo hàm\(y' = a\cos x + b\sin x + c\).Khi đó \(S = 2a + b - c\) có kết quả bằng:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tính đạo hàm Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}y' = (2\sin x - 3\cos x + 3)' = 2\cos x + 3\sin x\\ \Rightarrow a = 2,b = 3,c = 0\end{array}\) Vậy \(S = 2a + b - c = 2.2 + 3 - 0 = 7\) Vậy PT có tất cả 1 nghiệm Đáp án B.
Câu 5 :
Hàm số \(y = \sqrt {2 + 2{x^2}} \)có đạo hàm \(y' = \frac{{a + bx}}{{\sqrt {2 + 2{x^2}} }}\). Khi đó \(S = a - 2b\) có kết quả bằng
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}y' = (\sqrt {2 + 2{x^2}} )' = \frac{{(2 + 2{x^2})'}}{{2\sqrt {2 + 2{x^2}} }} = \frac{{4x}}{{2\sqrt {2 + 2{x^2}} }} = \frac{{2x}}{{\sqrt {2 + 2{x^2}} }}\\ \Rightarrow a = 0,b = 2\\ \Rightarrow S = - 4\end{array}\) Đáp án A.
Câu 6 :
Có hai túi đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Túi I có 3 viên bi màu xanh và 7 viên bi màu đỏ. Túi II có 10 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Xác suất để hai viên bi được lấy có cùng màu xanh bằng:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Xác định biến cố của các xác suất, có thể gọi tên các biến cố A; B; C; D để biểu diễn. Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa các biến cố vừa đặt tên, biểu diễn biến cố trung gian và quan trọng nhất là biến cố đề bài đang yêu cầu tính xác suất thông qua các biến cố ở bước 1. Bước 3: Sử dụng các mối quan hệ vừa xác định ở bước 2 để chọn công thức cộng hay công thức nhân phù hợp. Lời giải chi tiết :
Xác suất lấy được viên bi màu xanh từ túi I là \(\frac{3}{{10}}\) Xác suất lấy được viên bi màu xanh từ túi II là \(\frac{{10}}{{16}} = \frac{5}{8}\) Xác suất lấy được hai viên bi cùng màu xanh là \(\frac{3}{{10}}.\frac{5}{8} = \frac{3}{{16}}\) Đáp án B.
Câu 7 :
Cho hàm số \(y = - {x^3} + 3x - 2\) có đồ thị \(\left( C \right).\)Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục tung là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục tung Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): \(y = f(x)\)tại điểm \(M({x_0};f({x_0}))\)là: \(y = f'({x_0})(x - {x_0}) + f({x_0})\) Trong đó: \(M({x_0};f({x_0}))\)gọi là tiếp điểm. \(k = f'({x_0})\)là hệ số góc. Lời giải chi tiết :
(C) cắt trục tung tại điểm \(M(0; - 2)\) \(y' = ( - {x^3} + 3x - 2)' = - 3{x^2} + 3\) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm \(M(0; - 2)\)là: \(y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 3x - 2\) Đáp án C.
Câu 8 :
Cho mẫu số liệu về thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của một số học sinh như sau:
Tìm trung vị của mẫu số liệu trên?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tính trung vị Lời giải chi tiết :
Cỡ mẫu là n = 7 + 12 + 5 + 7 + 3 + 5 + 1 = 40. Gọi x1, x2, ….., x40 là thời gian đi từ nhà đến trường của 40 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là \(\frac{{{x_{20}} + {x_{21}}}}{2}\). Do hai giá trị x20, x21 thuộc nhóm [25; 30) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó p = 3; a3 = 25, m3 = 5; m1 + m2 = 7 + 12 = 19; a4 – a3 = 30 – 25 = 5 Khi đó \({M_e} = {a_3} + \frac{{\frac{n}{2} - ({m_1} + {m_2})}}{{{m_3}}}({a_4} - {a_3}) = 25 + \frac{{\frac{{40}}{2} - 19}}{5}.5 = 26\) Vậy Me = 26. Đáp án A.
Câu 9 :
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, \(SA = SC\). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Góc giữa hai đường thẳng SO và IK bằng:
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. + Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \({90^0}\). Lời giải chi tiết :
Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC. Vì \(SA = SC\) nên tam giác SAC cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, \(SO \bot AC\) Vì I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC nên IK là đường trung bình của tam giác BAC. Do đó, IK//AC. Vì \(SO \bot AC\), IK//AC nên \(IK \bot SO\). Do đó, góc giữa hai đường thẳng SO và IK bằng \({90^0}\). Đáp án B.
Câu 10 :
Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC. Qua S kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cắt mặt phẳng đó tại H. Khi đó, góc giữa SH và MP bằng bao nhiêu độ?:
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì đường thẳng d cũng vuông góc với các mặt phẳng song song với (P). + Đường thẳng d gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P). Lời giải chi tiết :
Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB. Do đó, MN//AB. Vì P, N lần lượt là trung điểm của SC, SB nên PN là đường trung bình của tam giác SBC. Do đó, PN//CB. Vì MN//AB, PN//CB nên (MNP)// (ABC). Mặt khác, \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SH \bot \left( {MNP} \right)\). Mà \(MP \subset \left( {MNP} \right) \Rightarrow SH \bot MP\) Do đó, góc giữa hai đường thẳng MP và SH bằng \({90^0}\). Đáp án B.
Câu 11 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = x. Tìm x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau một góc 60°
Đáp án : D Phương pháp giải :
+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\). + Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Lời giải chi tiết :
Kẻ \(BH \bot SC \Rightarrow DH \bot SC\)(hai đường cao tương ứng của hai tam giác bằng nhau) \( \Rightarrow \left( {(SBC),(SCD)} \right) = \left( {BH,DH} \right) = {60^0}\) Có hai trường hợp xảy ra: TH1: \(\begin{array}{l}\widehat {BHD} = {60^0} \Rightarrow \widehat {BHO} = {30^0}\\OB = \frac{a}{{\sqrt 2 }},\tan {30^0} = \frac{{OB}}{{OH}} \Rightarrow OH = \frac{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}}{{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = a\sqrt {\frac{3}{2}} \end{array}\) Xét hai tam giác đồng dạng SAC và OHC ta có: \(\begin{array}{l}\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{SA}}{{SC}} \Leftrightarrow \frac{{a\sqrt {\frac{3}{2}} }}{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow \sqrt 3 = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow 3({x^2} + 2{a^2}) = {x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 6{a^2} = 0\end{array}\) \( \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 \)(không có đáp án nào thỏa mãn) TH2: \(\begin{array}{l}\widehat {BHD} = {120^0} \Rightarrow \widehat {BHO} = {60^0}\\OB = \frac{a}{{\sqrt 2 }},\tan {60^0} = \frac{{OB}}{{OH}} \Rightarrow OH = \frac{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}}{{\sqrt 3 }} = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\end{array}\) Xét hai tam giác đồng dạng SAC và OHC ta có: \(\begin{array}{l}\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{SA}}{{SC}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{a}{{\sqrt 6 }}}}{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow {x^2} + 2{a^2} = 3{x^2}\\ \Leftrightarrow x = a\end{array}\) Đáp án D.
Câu 12 :
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng với chiều cao. Tính góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng phương pháp tính góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy của chóp Lời giải chi tiết :
Xét hình chóp tứ giác đều S.ABC, O là tâm của tam giác ABC, M là trung điểm AB. Giả sử, AB = a, khi đó SO = a Ta có: \(CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},CO = \frac{2}{3}CM = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\) \(\begin{array}{l}(SC,(ABCD)) = \widehat {SCO}\\\tan \widehat {SCO} = \frac{{SO}}{{CO}} = \sqrt 3 \Leftrightarrow \widehat {SCO} = {60^0}\end{array}\) Vậy \((SC,(ABCD)) = {60^0}\) Đáp án B.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1 :
Một cuộc thi bắn súng, có 3 người tham gia thi. Trong đó xác suất bắn trúng của người thứ nhất là 0,9; người thứ 2 là 0,7 và người thứ 3 là 0,8. a) Xác suất để cả ba người đều bắn trúng là 0,504
Đúng
Sai
b) Xác suất để đúng 2 người bắn trúng là 0,398
Đúng
Sai
c) Xác suất để không người nào bắn trúng là 0,006
Đúng
Sai
d) Xác suất để ít nhất một người bắn trúng là 0,856
Đúng
Sai
Đáp án
a) Xác suất để cả ba người đều bắn trúng là 0,504
Đúng
Sai
b) Xác suất để đúng 2 người bắn trúng là 0,398
Đúng
Sai
c) Xác suất để không người nào bắn trúng là 0,006
Đúng
Sai
d) Xác suất để ít nhất một người bắn trúng là 0,856
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
Bước 1: Xác định biến cố của các xác suất, có thể gọi tên các biến cố A; B; C; D để biểu diễn. Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa các biến cố vừa đặt tên, biểu diễn biến cố trung gian và quan trọng nhất là biến cố đề bài đang yêu cầu tính xác suất thông qua các biến cố ở bước 1. Bước 3: Sử dụng các mối quan hệ vừa xác định ở bước 2 để chọn công thức cộng hay công thức nhân phù hợp. Lời giải chi tiết :
Gọi A là biến cố: “Người thứ nhất bắn trúng”; P(A) = 0,9 B là biến cố: “Người thứ hai bắn trúng”; P(B) = 0,7 C là biến cố: “Người thứ ba bắn trúng”; P(C) = 0,8 A, B, C là ba biến cố độc lập Khi đó: \(\overline A \)là biến cố: “Người thứ nhất bắn không trúng”; \(P(\overline A ) = 1 - 0,9 = 0,1\) \(\overline B \)là biến cố: “Người thứ hai bắn không trúng”; \(P(\overline B ) = 1 - 0,7 = 0,3\) \(\overline C \) là biến cố: “Người thứ ba bắn không trúng”; \(P(\overline C ) = 1 - 0,8 = 0,2\)
Xác suất để cả ba người bắn trúng là: \(P(A \cap B \cap C) = 0,9.0,7.0,8 = 0,504\)
Ta có: \(D = (A \cap B \cap \overline C ) \cup (A \cap \overline B \cap C) \cup (\overline A \cap B \cap C)\) Xác suất để có đúng hai người bắn trúng là: P(D) = 0,9.0,7.0,2 + 0,9.0,3.0,8 + 0,1.0,7.0,8 = 0,398. c)\(E = (\overline A \cap \overline B \cap \overline C )\)là biến cố: “Không người nào người bắn trúng” Xác suất để không người nào người bắn trúng là: \(P(E) = P(\overline A \cap \overline B \cap \overline C ) = P(\overline A ).P(\overline B ).P(\overline C ) = 0,1.0,3.0,2 = 0,006\) d)\(\overline E \) là biến cố: “Ít nhất một người bắn trúng” Xác suất để có ít nhất một người bắn trúng là: \(P(\overline E ) = 1 - P(E) = 1 - 0,006 = 0,994\) a) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\left[ {20;25} \right)\)
Đúng
Sai
b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là \(\left[ {40;45} \right)\)
Đúng
Sai
c) Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1} = 21,25\)
Đúng
Sai
d) Tứ phân vị thứ ba \({Q_3} = 34,29\)
Đúng
Sai
Đáp án
a) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\left[ {20;25} \right)\)
Đúng
Sai
b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là \(\left[ {40;45} \right)\)
Đúng
Sai
c) Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1} = 21,25\)
Đúng
Sai
d) Tứ phân vị thứ ba \({Q_3} = 34,29\)
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tính \({Q_1}\) và \({Q_3}\) Lời giải chi tiết :
Cỡ mẫu là n = 7 + 12 + 5 + 7 + 3 + 5 + 1 = 40. Gọi x1, x2, ….., x40 là thời gian đi từ nhà đến trường của 40 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. - Tứ phân vị thứ nhất Q1 là trung vị của nửa dãy bên trái Q2 nên \({Q_1} = \frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}\) Do x10 và x11 đều thuộc nhóm [20; 25) nên nhóm này chứa \({Q_1}\). Do đó, p = 2, a2 = 20, m2 = 12, m1 = 7; a3 – a2 = 5. Ta có \({Q_1} = {a_2} + \frac{{\frac{n}{4} - {m_1}}}{{{m_2}}}\left( {{a_3} - {a_2}} \right) = 20 + \frac{{\frac{{40}}{4} - 7}}{{12}}.5 = 21,25\) - Tứ phân vị thứ ba Q3 là trung vị của nửa dãy bên phải Q2 nên \({Q_3} = \frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}\). Do x30 và x31 đều thuộc nhóm [30; 35) nên nhóm này chứa Q3. Do đó, p = 4, a4 = 30, m4 = 7, m1 + m2 + m3 = 7 + 12 + 5 = 24; a5 – a4 = 35 – 30 = 5. Ta có \({Q_3} = {a_4} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - ({m_1} + {m_2} + {m_3})}}{{{m_4}}}\left( {{a_5} - {a_4}} \right) = 30 + \frac{{\frac{{3.40}}{4} - 24}}{7}.5 = 34,29\) Vậy Q1 = 21,25; Q3 ≈ 34,29.
Câu 3 :
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). a) \(CD \bot (SHM)\)
Đúng
Sai
b) \(AC \bot (SHM)\)
Đúng
Sai
c) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) là \(\frac{{\sqrt {21} }}{7}\)
Đúng
Sai
d) Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) là \(\frac{{\sqrt {21} }}{{14}}\)
Đúng
Sai
Đáp án
a) \(CD \bot (SHM)\)
Đúng
Sai
b) \(AC \bot (SHM)\)
Đúng
Sai
c) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) là \(\frac{{\sqrt {21} }}{7}\)
Đúng
Sai
d) Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) là \(\frac{{\sqrt {21} }}{{14}}\)
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
Sử dụng phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Lời giải chi tiết :
a) \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HM\\CD \bot SH\\SM,SH \subset (SHM)\\SM \cap SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SHM)\) b) AC không vuông góc với (SHM) c) Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB và CD . Suy ra HM =1, SH = \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)và SM =\(\frac{{\sqrt 7 }}{2}\) Vì tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD) nên SH⊥(ABCD) Vì AB//CD nên AB// (SCD). Do đó d (B; (SCD)) = d(H; (SCD)) = HK với HK⊥SM trong (SHM). Ta có: \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{\sqrt {21} }}{7}\) d) \(\begin{array}{l}d(H,(SCD)) = 2.d(O,(SCD))\\ \Rightarrow d(O,(SCD)) = \frac{{\sqrt {21} }}{{14}}\end{array}\)
Câu 4 :
Cho hàm số \(y = \sqrt {2x - {x^2}} .\) a) Đạo hàm của hàm số là \(y' = (\sqrt {2x - {x^2}} )' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\)
Đúng
Sai
b) Biểu thức \(y'(1) = 0\)
Đúng
Sai
c) Biểu thức \(y''1) = 0\)
Đúng
Sai
d) \({y^3}y'' + 1 = 0,\forall x \in (0;2).\)
Đúng
Sai
Đáp án
a) Đạo hàm của hàm số là \(y' = (\sqrt {2x - {x^2}} )' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\)
Đúng
Sai
b) Biểu thức \(y'(1) = 0\)
Đúng
Sai
c) Biểu thức \(y''1) = 0\)
Đúng
Sai
d) \({y^3}y'' + 1 = 0,\forall x \in (0;2).\)
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp Lời giải chi tiết :
a) \(y' = (\sqrt {2x - {x^2}} )' = \frac{{(2x - {x^2})'}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\) b) \(y'(1) = \frac{{1 - 1}}{{\sqrt {2.1 - {1^2}} }} = 0\) c) \(\begin{array}{l}y'' = (\frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }})' = \frac{{(1 - x)'.(\sqrt {2x - {x^2}} ) - (1 - x).\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)'}}{{{{(\sqrt {2x - {x^2}} )}^2}}} = \frac{{ - \sqrt {2x - {x^2}} - (1 - x).\frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}}}{{2x - {x^2}}}\\ = \frac{{ - (2x - {x^2}) - {{(1 - x)}^2}}}{{(2x - {x^2})\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{ - 1}}{{(2x - {x^2})\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)}^3}}}\\ \Rightarrow y''(1) = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)}^3}}} = - 1\end{array}\) d)\({y^3}y'' + 1 = {\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)^3}.\frac{{ - 1}}{{{{\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)}^3}}} + 1 = - 1 + 1 = 0\)
Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Phương pháp giải :
Hàm số \(y = \log u\left( x \right)\) xác định khi \(u\left( x \right) > 0\). Hàm số \(y = \sqrt {u\left( x \right)} \) xác định khi \(u\left( x \right) \ge 0\). Lời giải chi tiết :
Hàm số \(y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right)} \) Điều kiện: \(\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5 \ge 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4 \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) Đặt \(f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4\) Trường hợp 1: Với \(m = - 1\) ta có: \(f\left( x \right) = 4 \ge 0\). Do đó, f(x) xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, \(m = - 1\) thỏa mãn. Trường hợp 2: \(m \ne - 1\). Hàm số \(f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4 \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 > 0\\\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 4\left( {m + 1} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\\left( {m + 1} \right)\left( {m - 3} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < m \le 3\) Vậy với \(m \in \left[ { - 1;3} \right]\) thì hàm số \(y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right)} \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\). Đáp án \(m \in \left[ { - 1;3} \right]\) Phương pháp giải :
Nếu \(a > 0,a \ne 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.\) (có thể thay \(u\left( x \right) > 0\) bằng \(v\left( x \right) > 0\)) Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 1\\x - \sqrt {{x^2} - 1} > 0\end{array} \right.\left( * \right)\) \({\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}\left| {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right|\) \( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}\frac{1}{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }} = {\log _6}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\) \( \Leftrightarrow - {\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}6.{\log _6}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\) \( \Leftrightarrow {\log _6}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\left[ {{{\log }_3}6.{{\log }_2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + 1} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _6}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 0\;\left( 1 \right)\\{\log _3}6.{\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + 1 = 0\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\) \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x - \sqrt {{x^2} - 1} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 1 = {\left( {x - 1} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\left( {tm\left( * \right)} \right)\) \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\log _3}6.{\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = - 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}3\) \( \Leftrightarrow x + \sqrt {{x^2} - 1} = {2^{{{\log }_6}3}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le {2^{{{\log }_6}3}}\\{x^2} - 1 = {\left( {{2^{{{\log }_6}3}} - x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\left( {{2^{{{\log }_6}3}} + {2^{ - {{\log }_6}3}}} \right)\) (thỏa mãn điều kiện) Đáp án \(x = \frac{1}{2}\left( {{2^{{{\log }_6}3}} + {2^{ - {{\log }_6}3}}} \right)\) Phương pháp giải :
Phương trình vận tốc và gia tốc của chất điểm: \(\left\{ \begin{array}{l}v\left( t \right) = s'\left( t \right)\\a\left( t \right) = v'\left( t \right)\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
Gọi \(v\left( t \right)\), \(a\left( t \right)\) lần lượt là vận tốc và gia tốc của chất điểm. Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm, ta suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}v\left( t \right) = s'\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} + 5t + 10\\a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t + 5\end{array} \right.\). Mà \(a\left( t \right) = 3{t^2} - 6t + 5 = 3{\left( {t - 1} \right)^2} + 2 \ge 2\) với mọi \(t\), dấu “\( = \)” xảy ra khi chỉ khi \(t = 1\). Suy ra gia tốc chuyển động của chất điểm nhỏ nhất bằng \(2\) khi \(t = 1\). Vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm gia tốc nhỏ nhất là \(v\left( 1 \right) = {\left( 1 \right)^3} - 3 \cdot {1^2} + 5 \cdot 1 + 10 = 13\) \(\left( {m/\,s} \right)\). Đáp án 13 \(\left( {m/\,s} \right)\) Phương pháp giải :
Sử dụng Quy tắc nhân Lời giải chi tiết :
Số phần tử không gian mẫu là : \({n_\Omega } = C_{30}^{10} = 30045015\) Gọi A là biến cố lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ chia hết cho 10. \({n_A} = C_{15}^5.C_3^1.C_{12}^4 = 4459455\) Vậy xác suất biến cố A là \(P(A) = \frac{{99}}{{667}}\) Đáp án \(\frac{{99}}{{667}}\) Phương pháp giải :
+ Sử dụng phương pháp: Nếu đường thẳng // mặt phẳng thì khoảng cách giữa các điểm thuộc đường thẳng đó đến mặt phẳng sẽ bằng nhau. + Sử dụng phương pháp tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của chóp. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\frac{{d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{DM}}{{DA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right).\) Vì \(M\)là trung điểm của \(AD\) nên có: \(AM = MD = \frac{1}{2}AD = a.\) Tứ giác \(ABCM\) có: \(BC//AM\,\,\left( {gt} \right)\) và \(BC = AM = a\) nên nó là hình bình hành. Suy ra: \(CM = AB = a.\) Tam giác \(ACD\) có \(CM\) là đường trung tuyến và \(CM = AM = MD = \frac{1}{2}AD\) nên tam giác \(ACD\)là tam giác vuông tại \(C.\) Suy ra: \(CD \bot AC.\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\,\,\left( {cmt} \right)\\CD \bot SA\,\,\,\left( {do\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right).\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot \left( {SAC} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {SAC} \right).\) Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right),\) kẻ \(AH \bot SC\,\,\left( {H \in SC} \right).\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\\\left( {SCD} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SC\\AH \bot SC\\AH \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right).\) Suy ra: \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH.\) Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) có \(AB = BC = a\) nên \(AC = a\sqrt 2 .\) Tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\,\,\left( {do\,SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) có : \(AH = \frac{{AS.AC}}{{\sqrt {A{S^2} + A{C^2}} }} = \frac{{a.\,a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\) Suy ra: \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\) Suy ra: \(d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}.\) Vậy \(d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}.\) Đáp án \(\frac{{a\sqrt 6 }}{6}\) Phương pháp giải :
Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục hoành Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): \(y = f(x)\)tại điểm \(M({x_0};f({x_0}))\)là: \(y = f'({x_0})(x - {x_0}) + f({x_0})\) Trong đó: \(M({x_0};f({x_0}))\)gọi là tiếp điểm. \(k = f'({x_0})\)là hệ số góc. Lời giải chi tiết :
Giao điểm của (C) với trục hoành là \({M_0}\left( { - 1\,\,;\,\,0} \right)\) Ta có: \(y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) \( \Rightarrow k = y'( - 1) = 1\) Vậy phương trình tiếp tuyến tại \({M_0}\left( { - 1\,\,;\,\,0} \right)\) là : \(y = 1(x + 1) + 0 = x + 1\) Đáp án \(y = x + 1\)
|
