Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11 - Cánh diều

Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều - Đề số 3

Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Tải về

Tải về đề thi và đáp án Tải về đề thi Tải về đáp án
Làm đề thi

Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Cho $a>0,m,n\in \mathbb{R}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Đề bài

I. Trắc nghiệm
Câu 1 :

Cho \(a > 0,m,n \in \mathbb{R}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A
    \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\).
  • B
    \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m + n}}\).
  • C
    \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m.n}}\).
  • D
    \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{n - m}}\).
Câu 2 :

Chọn đáp án đúng.

Cho số dương a. Khi đó:

  • A
    \({a^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[4]{{{a^3}}}\).
  • B
    \({a^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[3]{{{a^4}}}\).
  • C
    \({a^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{{{a^{\frac{3}{4}}}}}\).
  • D
    \({a^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[{\frac{4}{3}}]{a}\).
Câu 3 :

Chọn đáp án đúng:

  • A
    \(\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} = 1 - \sqrt 3 \).
  • B
    \(\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} =  - 1 + \sqrt 3 \).
  • C
    \(\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} = 1 + \sqrt 3 \).
  • D
    \(\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} =  - 1 - \sqrt 3 \).
Câu 4 :

Rút gọn biểu thức \(\frac{{{x^{\frac{4}{3}}}y + x{y^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}}\) (với \(x,y > 0\)) được kết quả là:

  • A
    y.
  • B
    x.
  • C
    \(x{y^{\frac{1}{3}}}\).
  • D
    xy.
Câu 5 :

Giả sử cường độ ánh sáng I dưới mặt biển giảm dần theo độ sâu theo công thức \(I = {I_o}{a^d}\), trong đó \({I_o}\) là cường độ ánh sáng tại mặt nước biển, a là một hằng số dương, d là độ sâu tính từ mặt nước biển (tính bằng mét). Ở một vùng biển cường độ ánh sáng tại độ sâu 1m bằng 90% cường độ ánh sáng tại mặt nước biển. Giá trị của a là:

  • A
    \(a = 9\).
  • B
    \(a = \frac{1}{9}\).
  • C
    \(a = \frac{9}{{10}}\).
  • D
    \(a = \frac{{10}}{9}\).
Câu 6 :

Chọn đáp án đúng.

Với \(a,b > 0\) thì:  

  • A
    \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\).
  • B
    \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a.\ln b\).
  • C
    \(\ln \left( {{a^b}} \right) = \ln a.\ln b\).
  • D
    \(\ln \left( {a + b} \right) = \ln a.\ln b\).
Câu 7 :

Chọn đáp án đúng.

  • A
    \({\log _7}9 = {\log _3}7.{\log _3}9\).
  • B
    \({\log _7}9 = {\log _3}7 + {\log _3}9\).
  • C
    \({\log _7}9 = \frac{{{{\log }_3}7}}{{{{\log }_3}9}}\).
  • D
    \({\log _7}9 = \frac{{{{\log }_3}9}}{{{{\log }_3}7}}\).
Câu 8 :

Với \(0 < a \ne 1\) thì:

  • A
    \({\log _a}a = 0\).
  • B
    \({\log _a}a = 1\).
  • C
    \({\log _a}a =  - 1\).
  • D
    \({\log _a}a = a\).
Câu 9 :

Trong Hóa học, độ pH của một dung dịch được tính theo công thức \(pH =  - \log \left[ {{H^ + }} \right]\), trong đó \(\left[ {{H^ + }} \right]\) là nồng độ ion hydrogen tính bằng mol/lít. Tính nồng độ pH của dung dịch có nồng độ ion hydrogen bằng 0,001 mol/lít.

  • A
    2.
  • B
    3.
  • C
    4.
  • D
    5.
Câu 10 :

Chọn đáp án đúng: (Các biểu thức trên đều có nghĩa)

  • A
    \({\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 1\).
  • B
    \({\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) =  - 1\).
  • C
    \({\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 0\).
  • D
    \({\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 2\).
Câu 11 :

Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) luôn:

  • A
    Nằm phía trên trục hoành.
  • B
    Nằm phía dưới trục hoành.
  • C
    Nằm bên trái trục tung.
  • D
    Nằm bên phải trục tung.
Câu 12 :

Hàm số nào dưới đây là hàm số mũ cơ số 3?

  • A
    \(y = {3^x}\).
  • B
    \(y = {\log _x}3\).
  • C
    \(y = {\log _3}x\).
  • D
    \(y = \ln \left( {3x} \right)\).
Câu 13 :

Hàm số nào dưới đây không phải là hàm số lôgarit?  

  • A
    \(y = \ln \left( {2{x^4}} \right)\).
  • B
    \(y = \log \left( {{x^2} + 10} \right)\).
  • C
    \(y = {\log _4}\frac{1}{{{x^2} + 1}}\).
  • D
    \(y = {2^{\ln 4}}\).
Câu 14 :

Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) liên tục trên:

  • A
    \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
  • B
    \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
  • C
    \(\left( {0; + \infty } \right)\).
  • D
    \(\left( { - a;a} \right)\).
Câu 15 :

Cho đồ thị các hàm số \(y = {a^x},y = {b^x},y = {\log _c}x\) như hình vẽ dưới

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

  • A
    \(a > b > c > 1\).
  • B
    \(a > b > 1 > c\).
  • C
    \(a > 1 > b > c\).
  • D
    \(a < b < c < 1\).
Câu 16 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _{\sqrt 3 }}x\). Biết rằng: \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {3;9} \right]} y = M,\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {3;9} \right]} y = m\). Khi đó:

  • A
    \(M + m = 2\).
  • B
    \(M + m = 5\).
  • C
    \(M + m = 6\).
  • D
    \(M + m = 4\).
Câu 17 :

Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng \(\left[ {a;b} \right)\). Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {a;b} \right)\) là:

  • A
    \({x_i} = a + b\).
  • B
    \({x_i} = b - a\).
  • C
    \({x_i} = \frac{{a + b}}{2}\).
  • D
    \({x_i} = \frac{{b - a}}{2}\).
Câu 18 :

Nếu hai biến cố A và B độc lập thì:

  • A
    \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
  • B
    \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
  • C
    \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) - P\left( B \right)\).
  • D
    \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Câu 19 :

Bảng tần số ghép nhóm dưới đây thể hiện thời gian sử dụng Internet trong một ngày của 40 học sinh (đơn vị: phút):

Có bao nhiêu học sinh có thời gian sử dụng Internet ít hơn 120 phút một ngày?

  • A
    6 học sinh.
  • B
    13 học sinh.
  • C
    16 học sinh.
  • D
    19 học sinh.
Câu 20 :

Cho A, B là hai biến cố của cùng một phép thử có không gian mẫu \(\Omega \). Phát biểu nào dưới đây là sai?

  • A
    Nếu A, B đối nhau thì \(A \cup B = \Omega \).
  • B
    Nếu \(A \cap B = \emptyset \) thì A, B xung khắc.
  • C
    Nếu \(A = \overline B \) thì \(B = \overline A \).
  • D
    Nếu A là biến cố không thì \(\overline A \) là biến cố chắc chắn.
Câu 21 :

Ba người cùng đi săn A, B, C độc lập với nhau cùng nổ súng bắn vào mục tiêu. Biết rằng xác suất bắn trúng mục tiêu của A, B, C lần lượt là 0,5; 0,6; 0,7. Xác suất để có ít nhất một người xạ thủ bắn trúng là:

  • A
    0,45.
  • B
    0,8.
  • C
    0,75.
  • D
    0,94.
Câu 22 :

Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau. Biết rằng \(P\left( A \right) = 0,4\) và \(P\left( {\overline A B} \right) = 0,3\). Xác suất của biến cố \(A \cup B\) là:  

  • A
    0,5.
  • B
    0,2.
  • C
    0,6.
  • D
    0,7.
Câu 23 :

Bảng tần số ghép nhóm số liệu dưới đây thống kê cân nặng của 40 học sinh lớp 11A trong một trường trung học phổ thông (đơn vị: kilôgam):

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

  • A
    62kg.
  • B
    62,5kg.
  • C
    63kg.
  • D
    63,5kg.
Câu 24 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

  • A
    Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c).
  • B
    Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn.
  • C
    Góc giữa hai đường thẳng có thể là góc tù.
  • D
    Cả A, B, C đều đúng.
Câu 25 :

Góc giữa hai đường thẳng không thể bằng:

  • A
    400.
  • B
    500.
  • C
    900.
  • D
    1600.
Câu 26 :

Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình chữ nhật và I là 1 điểm thuộc cạnh AB sao cho \(SI \bot AB\). Khi đó, góc giữa hai đường thẳng CD và SI bằng bao nhiêu độ?

  • A
    \({90^0}\).
  • B
    \({60^0}\).
  • C
    \({30^0}\).
  • D
    \({70^0}\).
Câu 27 :

Cho hình chóp S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng SA và DC bằng:

  • A
    \({60^0}\).
  • B
    \({90^0}\).
  • C
    \({120^0}\).
  • D
    \({70^0}\).
Câu 28 :

Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác ABC vuông tại B. Kẻ \(AH \bot SB\left( {H \in SB} \right)\). Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm:

  • A
    A.
  • B
    B.
  • C
    C.
  • D
    H.
Câu 29 :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\). Khẳng định nào dưới đây đúng?

  • A
    (ABCD)\( \bot \) (A’B’C’D).
  • B
    \(AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\).
  • C
    Cả A và B đều đúng.
  • D
    Cả A và B đều sai.
Câu 30 :

Chọn đáp án đúng.

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b song song với mặt phẳng (P). Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng:

  • A
    \({30^0}\).
  • B
    \({90^0}\).
  • C
    \({60^0}\).
  • D
    \({0^0}\).
Câu 31 :

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a. Phát biểu nào sau đây là đúng?

  • A
    Đường thẳng b cắt mặt phẳng (P).
  • B
    Đường thẳng b song song mặt phẳng (P).
  • C
    Đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P).
  • D
    Đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) hoặc song song với mặt phẳng (P).
Câu 32 :

Một chiếc cột dựng trên nền sân phẳng. Gọi O là điểm đặt chân cột trên mặt sân và M là điểm trên cột cách chân cột 30cm. Trên mặt sân, người ta lấy hai điểm A và B cách đều O là 40cm (A, B, O không thẳng hàng). Người ta đo độ dài MA và MB đều bằng 50cm.

Chọn khẳng định đúng.

  • A
    Tam giác MOB là tam giác tù.
  • B
    Tam giác MAO là tam giác nhọn.
  • C
    \(MO \bot \left( {AOB} \right)\).
  • D
    Cả A, B, C đều đúng.
Câu 33 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và \(SC = a\sqrt 2 \). Gọi H là trung điểm của AB. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm:

  • A
    A.
  • B
    B.
  • C
    C.
  • D
    H.
Câu 34 :

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Khẳng định nào sau đây là sai?

  • A
    \(OC \bot \left( {ABC} \right)\).
  • B
    \(OC \bot \left( {ABO} \right)\).
  • C
    \(OB \bot \left( {OAC} \right)\).
  • D
    \(OA \bot \left( {OBC} \right)\).
Câu 35 :

Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC lên mặt phẳng (SAB) là đường thẳng:

  • A
    SB.
  • B
    SA.
  • C
    SB.
  • D
    AH.
II. Tự luận
Câu 1 :

Cho hàm số: \(y = \ln \left[ {\left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2} \right]\).

a) Với \(m = 1\), hãy tìm tập xác định của hàm số trên.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định với mọi giá trị thực của x.
Câu 2 :

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a) H là trực tâm của tam giác ABC.

b) \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).
Câu 3 :

Tính giá trị biểu thức \(P = {\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}} \right)^{2023}}.{\left( {3 - \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}} \right)^{2024}}\)

Lời giải và đáp án

I. Trắc nghiệm
Câu 1 :

Cho \(a > 0,m,n \in \mathbb{R}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A
    \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\).
  • B
    \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m + n}}\).
  • C
    \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m.n}}\).
  • D
    \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{n - m}}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho \(a > 0,m,n \in \mathbb{R}\). Khi đó: \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\)

Lời giải chi tiết :

Cho \(a > 0,m,n \in \mathbb{R}\). Khi đó: \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\)

Đáp án A.

Câu 2 :

Chọn đáp án đúng.

Cho số dương a. Khi đó:

  • A
    \({a^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[4]{{{a^3}}}\).
  • B
    \({a^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[3]{{{a^4}}}\).
  • C
    \({a^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{{{a^{\frac{3}{4}}}}}\).
  • D
    \({a^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[{\frac{4}{3}}]{a}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho số thực dương a và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m,n \in \mathbb{Z},n > 0\). Ta có: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)

Lời giải chi tiết :

\({a^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[3]{{{a^4}}}\)

Đáp án B.

Câu 3 :

Chọn đáp án đúng:

  • A
    \(\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} = 1 - \sqrt 3 \).
  • B
    \(\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} =  - 1 + \sqrt 3 \).
  • C
    \(\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} = 1 + \sqrt 3 \).
  • D
    \(\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} =  - 1 - \sqrt 3 \).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

\(\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left| a \right|\) khi n chẵn (với các biểu thức đều có nghĩa).

Lời giải chi tiết :

\(\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} =  - 1 + \sqrt 3 \).

Đáp án B.

Câu 4 :

Rút gọn biểu thức \(\frac{{{x^{\frac{4}{3}}}y + x{y^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}}\) (với \(x,y > 0\)) được kết quả là:

  • A
    y.
  • B
    x.
  • C
    \(x{y^{\frac{1}{3}}}\).
  • D
    xy.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Cho số thực dương a và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m,n \in \mathbb{Z},n > 0\). Ta có: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)

Lời giải chi tiết :

\(\frac{{{x^{\frac{4}{3}}}y + x{y^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}} = \frac{{xy\left( {{x^{\frac{1}{3}}} + {y^{\frac{1}{3}}}} \right)}}{{{x^{\frac{1}{3}}} + {y^{\frac{1}{3}}}}} = xy\)

Đáp án D.

Câu 5 :

Giả sử cường độ ánh sáng I dưới mặt biển giảm dần theo độ sâu theo công thức \(I = {I_o}{a^d}\), trong đó \({I_o}\) là cường độ ánh sáng tại mặt nước biển, a là một hằng số dương, d là độ sâu tính từ mặt nước biển (tính bằng mét). Ở một vùng biển cường độ ánh sáng tại độ sâu 1m bằng 90% cường độ ánh sáng tại mặt nước biển. Giá trị của a là:

  • A
    \(a = 9\).
  • B
    \(a = \frac{1}{9}\).
  • C
    \(a = \frac{9}{{10}}\).
  • D
    \(a = \frac{{10}}{9}\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

\({a^1} = a\)

Lời giải chi tiết :

Với \(d = 1,I = \frac{{90}}{{100}}{I_o}\) thay vào \(I = {I_o}{a^d}\) ta có: \(\frac{{90}}{{100}}{I_o} = {I_o}{a^1} \Rightarrow a = \frac{9}{{10}}\). Vậy \(a = \frac{9}{{10}}\).

Đáp án C.

Câu 6 :

Chọn đáp án đúng.

Với \(a,b > 0\) thì:  

  • A
    \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\).
  • B
    \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a.\ln b\).
  • C
    \(\ln \left( {{a^b}} \right) = \ln a.\ln b\).
  • D
    \(\ln \left( {a + b} \right) = \ln a.\ln b\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Với \(a,b > 0\) thì \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\).

Lời giải chi tiết :

Với \(a,b > 0\) thì \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\).

Đáp án A.

Câu 7 :

Chọn đáp án đúng.

  • A
    \({\log _7}9 = {\log _3}7.{\log _3}9\).
  • B
    \({\log _7}9 = {\log _3}7 + {\log _3}9\).
  • C
    \({\log _7}9 = \frac{{{{\log }_3}7}}{{{{\log }_3}9}}\).
  • D
    \({\log _7}9 = \frac{{{{\log }_3}9}}{{{{\log }_3}7}}\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Với a, b, c là các số dương và \(a \ne 1,b \ne 1\) thì \({\log _a}c = \frac{{{{\log }_b}c}}{{{{\log }_b}a}}\).

Lời giải chi tiết :

\({\log _7}9 = \frac{{{{\log }_3}9}}{{{{\log }_3}7}}\)

Đáp án D.

Câu 8 :

Với \(0 < a \ne 1\) thì:

  • A
    \({\log _a}a = 0\).
  • B
    \({\log _a}a = 1\).
  • C
    \({\log _a}a =  - 1\).
  • D
    \({\log _a}a = a\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với \(0 < a \ne 1\) thì \({\log _a}a = 1\).

Lời giải chi tiết :

Với \(0 < a \ne 1\) thì \({\log _a}a = 1\).

Đáp án B.

Câu 9 :

Trong Hóa học, độ pH của một dung dịch được tính theo công thức \(pH =  - \log \left[ {{H^ + }} \right]\), trong đó \(\left[ {{H^ + }} \right]\) là nồng độ ion hydrogen tính bằng mol/lít. Tính nồng độ pH của dung dịch có nồng độ ion hydrogen bằng 0,001 mol/lít.

  • A
    2.
  • B
    3.
  • C
    4.
  • D
    5.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với a là số thực dương và \(a \ne 1\) thì \(\log {\,_a}{a^\alpha } = \alpha \)

Lời giải chi tiết :

Với \(\left[ {{H^ + }} \right] = 0,001\) thay vào \(pH =  - \log \left[ {{H^ + }} \right]\) ta có:

\(pH =  - \log \left[ {{H^ + }} \right] =  - \log 0,001 =  - \log {10^{ - 3}} = 3\)

Vậy nồng độ pH của dung dịch bằng 3.

Đáp án B.

Câu 10 :

Chọn đáp án đúng: (Các biểu thức trên đều có nghĩa)

  • A
    \({\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 1\).
  • B
    \({\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) =  - 1\).
  • C
    \({\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 0\).
  • D
    \({\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 2\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Với a là số thực dương và \(a \ne 1\) thì \(\log {\,_a}1 = 0\).

Với \(0 < a \ne 1,b,c > 0\) thì \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\).

Lời giải chi tiết :

\({\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _a}\left[ {\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)} \right]\)

\( = {\log _a}\left( {{x^2} - {x^2} + 1} \right) = {\log _a}1 = 0\)

Đáp án C.

Câu 11 :

Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) luôn:

  • A
    Nằm phía trên trục hoành.
  • B
    Nằm phía dưới trục hoành.
  • C
    Nằm bên trái trục tung.
  • D
    Nằm bên phải trục tung.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) luôn nằm bên phải trục tung.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) luôn nằm bên phải trục tung.

Đáp án D.

Câu 12 :

Hàm số nào dưới đây là hàm số mũ cơ số 3?

  • A
    \(y = {3^x}\).
  • B
    \(y = {\log _x}3\).
  • C
    \(y = {\log _3}x\).
  • D
    \(y = \ln \left( {3x} \right)\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = {3^x}\) có cơ số là 3.

Đáp án A.

Câu 13 :

Hàm số nào dưới đây không phải là hàm số lôgarit?  

  • A
    \(y = \ln \left( {2{x^4}} \right)\).
  • B
    \(y = \log \left( {{x^2} + 10} \right)\).
  • C
    \(y = {\log _4}\frac{1}{{{x^2} + 1}}\).
  • D
    \(y = {2^{\ln 4}}\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = {2^{\ln 4}}\) không phải là hàm số lôgarit

Đáp án D.

Câu 14 :

Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) liên tục trên:

  • A
    \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
  • B
    \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
  • C
    \(\left( {0; + \infty } \right)\).
  • D
    \(\left( { - a;a} \right)\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Đáp án C.

Câu 15 :

Cho đồ thị các hàm số \(y = {a^x},y = {b^x},y = {\log _c}x\) như hình vẽ dưới

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

  • A
    \(a > b > c > 1\).
  • B
    \(a > b > 1 > c\).
  • C
    \(a > 1 > b > c\).
  • D
    \(a < b < c < 1\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Nếu \(a > 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0} \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết :

Ta thấy hàm số \(y = {\log _c}x\) nghịch biến nên \(c < 1\).

Hàm số \(y = {a^x},y = {b^x}\) đồng biến nên \(a > 1,b > 1\).

Xét tại \(x = 1\) thì đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) có tung độ lớn hơn tung độ của đồ thị hàm số \(y = {b^x}\) nên \(a > b\).  Do đó, \(a > b > 1 > c\).

Đáp án B.

Câu 16 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _{\sqrt 3 }}x\). Biết rằng: \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {3;9} \right]} y = M,\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {3;9} \right]} y = m\). Khi đó:

  • A
    \(M + m = 2\).
  • B
    \(M + m = 5\).
  • C
    \(M + m = 6\).
  • D
    \(M + m = 4\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Cho hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\):

+ Nếu \(a > 1\) thì hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

+ Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _{\sqrt 3 }}x\) có \(\sqrt 3  > 1\) nên đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {3;9} \right]} y = f\left( 3 \right) = {\log _{\sqrt 3 }}3 = 2,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {3;9} \right]} y = f\left( 9 \right) = {\log _{\sqrt 3 }}9 = 4\)

Do đó, \(M + m = 6\)

Đáp án C.

Câu 17 :

Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng \(\left[ {a;b} \right)\). Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {a;b} \right)\) là:

  • A
    \({x_i} = a + b\).
  • B
    \({x_i} = b - a\).
  • C
    \({x_i} = \frac{{a + b}}{2}\).
  • D
    \({x_i} = \frac{{b - a}}{2}\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng \(\left[ {a;b} \right)\). Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {a;b} \right)\) là \({x_i} = \frac{{a + b}}{2}\).

Lời giải chi tiết :

Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng \(\left[ {a;b} \right)\). Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {a;b} \right)\) là \({x_i} = \frac{{a + b}}{2}\).

Đáp án C.

Câu 18 :

Nếu hai biến cố A và B độc lập thì:

  • A
    \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
  • B
    \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
  • C
    \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) - P\left( B \right)\).
  • D
    \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu hai biến cố A và B độc lập thì \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).

Lời giải chi tiết :

Nếu hai biến cố A và B độc lập thì \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).

Đáp án B.

Câu 19 :

Bảng tần số ghép nhóm dưới đây thể hiện thời gian sử dụng Internet trong một ngày của 40 học sinh (đơn vị: phút):

Có bao nhiêu học sinh có thời gian sử dụng Internet ít hơn 120 phút một ngày?

  • A
    6 học sinh.
  • B
    13 học sinh.
  • C
    16 học sinh.
  • D
    19 học sinh.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bảng tần số ghép nhóm cho ở bảng dưới:

Trong đó, mẫu số liệu gồm n số liệu được chia thành m nhóm ứng với m nửa khoảng \(\left[ {{a_1};{a_2}} \right)\); \(\left[ {{a_2};{a_3}} \right)\);...; \(\left[ {{a_m};{a_{m + 1}}} \right)\), ở đó \({a_1} < {a_2} < {a_3} < ... < {a_m} < {a_{m + 1}}\) và \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_m}\).

Lời giải chi tiết :

Số học sinh có thời gian sử dụng Internet ít hơn 120 phút một ngày là: \(6 + 13 = 19\) (học sinh)

Đáp án D.

Câu 20 :

Cho A, B là hai biến cố của cùng một phép thử có không gian mẫu \(\Omega \). Phát biểu nào dưới đây là sai?

  • A
    Nếu A, B đối nhau thì \(A \cup B = \Omega \).
  • B
    Nếu \(A \cap B = \emptyset \) thì A, B xung khắc.
  • C
    Nếu \(A = \overline B \) thì \(B = \overline A \).
  • D
    Nếu A là biến cố không thì \(\overline A \) là biến cố chắc chắn.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Cho A, B là hai biến cố của cùng một phép thử có không gian mẫu \(\Omega \) :

+ Nếu A, B đối nhau thì \(A \cup B = \Omega \).

+ Nếu \(A \cap B = \emptyset \) thì A, B xung khắc.

+ Nếu A là biến cố không thì \(\overline A \) là biến cố chắc chắn.

Lời giải chi tiết :

Cho A, B là hai biến cố của cùng một phép thử có không gian mẫu \(\Omega \) :

+ Nếu A, B đối nhau thì \(A \cup B = \Omega \)  nên câu A đúng.

+ Nếu \(A \cap B = \emptyset \) thì A, B xung khắc nên câu B đúng.

+ Nếu A là biến cố không thì \(\overline A \) là biến cố chắc chắn nên câu D đúng.

Câu C là câu sai.

Đáp án C.

Câu 21 :

Ba người cùng đi săn A, B, C độc lập với nhau cùng nổ súng bắn vào mục tiêu. Biết rằng xác suất bắn trúng mục tiêu của A, B, C lần lượt là 0,5; 0,6; 0,7. Xác suất để có ít nhất một người xạ thủ bắn trúng là:

  • A
    0,45.
  • B
    0,8.
  • C
    0,75.
  • D
    0,94.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nếu hai biến cố A và B độc lập thì \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).

Lời giải chi tiết :

Xác suất để người A bắn trượt là: \(1 - 0,5 = 0,5\)

Xác suất để người B bắn trượt là: \(1 - 0,6 = 0,4\)

Xác suất để người C bắn trượt là: \(1 - 0,7 = 0,3\)

Xác suất để cả ba người đều bắn trượt là: \(0,3.0,4.0,5 = 0,06\)

Vậy xác suất để có ít nhất một người xạ thủ bắn trúng là: \(1 - 0,06 = 0,94\)

Đáp án D.

Câu 22 :

Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau. Biết rằng \(P\left( A \right) = 0,4\) và \(P\left( {\overline A B} \right) = 0,3\). Xác suất của biến cố \(A \cup B\) là:  

  • A
    0,5.
  • B
    0,2.
  • C
    0,6.
  • D
    0,7.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Cho hai biến cố A và B. Khi đó \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)\)

+ Nếu hai biến cố A và B độc lập thì \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).

Lời giải chi tiết :

Vì \(\overline A \) là biến cố đối của biến cố A nên \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,4 = 0,6\).

Do \(\overline A \) và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố \(\overline A B\) là:

\(P\left( {\overline A B} \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( B \right) \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{P\left( {\overline A B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{0,3}}{{0,6}} = 0,5\)

Vì A và B là hai biến cố độc lập với nhau nên \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,4.0,5 = 0,2\)

Do đó, \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) = 0,4 + 0,5 - 0,2 = 0,7\)

Đáp án D.

Câu 23 :

Bảng tần số ghép nhóm số liệu dưới đây thống kê cân nặng của 40 học sinh lớp 11A trong một trường trung học phổ thông (đơn vị: kilôgam):

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

  • A
    62kg.
  • B
    62,5kg.
  • C
    63kg.
  • D
    63,5kg.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bảng tần số ghép nhóm cho ở bảng dưới:

Giả sử nhóm q là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn bằng \[\frac{{3n}}{4}\], tức là \(c{f_{q - 1}} < \frac{{3n}}{4}\) nhưng \(c{f_q} \ge \frac{{3n}}{4}\). Ta gọi t, l, \({n_q}\) lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm q, \(c{f_{q - 1}}\) là tần số tích lũy của nhóm \(q - 1\).

Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) được tính theo công thức sau: \({Q_3} = t + \left( {\frac{{\frac{{3n}}{4} - c{f_{q - 1}}}}{{{n_q}}}} \right).l\).

Lời giải chi tiết :

Ta có bảng:

Ta có: \(\frac{{3n}}{4} = 30\) mà \(28 < 30 < 36\) nên nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 4 là nhóm \(\left[ {60;70} \right)\) có \(t = 60,l = 10,{n_4} = 8\) và nhóm 3 là \(\left[ {50;60} \right)\) có \(c{f_3} = 28\).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của bảng số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 60 + \frac{{30 - 28}}{8}.10 = 62,5\left( {kg} \right)\)

Đáp án B.

Câu 24 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

  • A
    Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c).
  • B
    Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn.
  • C
    Góc giữa hai đường thẳng có thể là góc tù.
  • D
    Cả A, B, C đều đúng.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900.

+ Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu \(\left( {a,b} \right)\) hoặc \(\widehat {\left( {a;b} \right)}\).

Lời giải chi tiết :

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu \(\left( {a,b} \right)\) hoặc \(\widehat {\left( {a;b} \right)}\) nên câu A đúng.

Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900 nên câu b, c đều sai.

Đáp án A.

Câu 25 :

Góc giữa hai đường thẳng không thể bằng:

  • A
    400.
  • B
    500.
  • C
    900.
  • D
    1600.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900.

Lời giải chi tiết :

Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900 nên góc giữa hai đường thẳng không thể bằng 1600.

Đáp án D.

Câu 26 :

Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình chữ nhật và I là 1 điểm thuộc cạnh AB sao cho \(SI \bot AB\). Khi đó, góc giữa hai đường thẳng CD và SI bằng bao nhiêu độ?

  • A
    \({90^0}\).
  • B
    \({60^0}\).
  • C
    \({30^0}\).
  • D
    \({70^0}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD là chữ nhật AB//CD. Mà \(SI \bot AB\) nên \(SI \bot CD\). Do đó, góc giữa hai đường thẳng SI và CD bằng \({90^0}\).

Đáp án A.

Câu 27 :

Cho hình chóp S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng SA và DC bằng:

  • A
    \({60^0}\).
  • B
    \({90^0}\).
  • C
    \({120^0}\).
  • D
    \({70^0}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu \(\left( {a,b} \right)\) hoặc \(\widehat {\left( {a;b} \right)}\).

Lời giải chi tiết :

Tứ giác ABCD có \(AB = BC = CD = DA\) nên tứ giác ABCD là hình thoi. Do đó, DC//AB.

Suy ra: \(\left( {SA,DC} \right) = \left( {SA,AB} \right) = \widehat {SAB}\)

Tam giác SAB có: \(SA = SB = AB\) nên tam giác SAB là tam giác đều. Do đó, \(\widehat {SAB} = {60^0}\)

Đáp án A.

Câu 28 :

Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác ABC vuông tại B. Kẻ \(AH \bot SB\left( {H \in SB} \right)\). Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm:

  • A
    A.
  • B
    B.
  • C
    C.
  • D
    H.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) là điểm A.

Đáp án A.

Câu 29 :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\). Khẳng định nào dưới đây đúng?

  • A
    (ABCD)\( \bot \) (A’B’C’D).
  • B
    \(AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\).
  • C
    Cả A và B đều đúng.
  • D
    Cả A và B đều sai.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD.A’B’C’D là hình hộp nên (ABCD)// (A’B’C’D), mà \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\).

Đáp án B.

Câu 30 :

Chọn đáp án đúng.

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b song song với mặt phẳng (P). Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng:

  • A
    \({30^0}\).
  • B
    \({90^0}\).
  • C
    \({60^0}\).
  • D
    \({0^0}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b song song với mặt phẳng (P) thì a vuông góc với b.

Lời giải chi tiết :

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b song song với mặt phẳng (P) thì a vuông góc với b. Do đó, góc giữa hai đường thẳng a và b bằng \({90^0}\)

Đáp án B.

Câu 31 :

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a. Phát biểu nào sau đây là đúng?

  • A
    Đường thẳng b cắt mặt phẳng (P).
  • B
    Đường thẳng b song song mặt phẳng (P).
  • C
    Đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P).
  • D
    Đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) hoặc song song với mặt phẳng (P).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a thì đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) hoặc song song với mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a thì đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) hoặc song song với mặt phẳng (P).

Đáp án D.

Câu 32 :

Một chiếc cột dựng trên nền sân phẳng. Gọi O là điểm đặt chân cột trên mặt sân và M là điểm trên cột cách chân cột 30cm. Trên mặt sân, người ta lấy hai điểm A và B cách đều O là 40cm (A, B, O không thẳng hàng). Người ta đo độ dài MA và MB đều bằng 50cm.

Chọn khẳng định đúng.

  • A
    Tam giác MOB là tam giác tù.
  • B
    Tam giác MAO là tam giác nhọn.
  • C
    \(MO \bot \left( {AOB} \right)\).
  • D
    Cả A, B, C đều đúng.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

Lời giải chi tiết :

Vì \({50^2} = {30^2} + {40^2}\) nên \(M{A^2} = M{O^2} + O{A^2}\) và \(M{B^2} = M{O^2} + O{B^2}\)

Do đó, tam giác MOA vuông tại O và tam giác MOB vuông tại O.

Suy ra, \(MO \bot OA,MO \bot OB\)

Mà OA và OB cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (OAB). Do đó, \(MO \bot \left( {AOB} \right)\).

Đáp án C.

Câu 33 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và \(SC = a\sqrt 2 \). Gọi H là trung điểm của AB. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm:

  • A
    A.
  • B
    B.
  • C
    C.
  • D
    H.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

+ Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì tam giác ABS đều nên SH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SHB vuông tại H có:

\(SH = \sqrt {S{B^2} - H{B^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác CHB vuông tại B có:

\(CH = \sqrt {B{C^2} + H{B^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Ta có: \(S{H^2} + H{C^2} = S{C^2}\left( {do\;{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} = {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} \right)\) nên tam giác SHC vuông tại H.

Suy ra: \(SH \bot HC\)

Lại có: \(SH \bot AB\), HC và AB cắt nhau tại H và nằm trong mặt phẳng (ABCD).

Do đó, \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\). Vậy H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD).

Đáp án D.

Câu 34 :

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Khẳng định nào sau đây là sai?

  • A
    \(OC \bot \left( {ABC} \right)\).
  • B
    \(OC \bot \left( {ABO} \right)\).
  • C
    \(OB \bot \left( {OAC} \right)\).
  • D
    \(OA \bot \left( {OBC} \right)\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

Lời giải chi tiết :

Vì \(OA \bot OB,OA \bot OC\) và OB và OC cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (OBC) nên \(OA \bot \left( {OBC} \right)\) nên câu D đúng.

Vì \(OC \bot OB,OA \bot OC\) và OB và OA cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (OBA) nên \(OC \bot \left( {ABO} \right)\) nên câu B đúng.

Vì \(OA \bot OB,OB \bot OC\) và OA và OC cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (OAC) nên \(OB \bot \left( {OAC} \right)\) nên câu C đúng.

Vì \(OC \bot OB\) nên tam giác OBC vuông tại O. Do đó, OC không thể vuông góc với CB. Suy ra, OC không vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên câu A sai.

Đáp án A.

Câu 35 :

Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC lên mặt phẳng (SAB) là đường thẳng:

  • A
    SB.
  • B
    SA.
  • C
    SB.
  • D
    AH.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right),AC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AC\)

Tam giác ABC vuông tại A nên \(AB \bot AC\).

Mà SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB). Do đó, \(AC \bot \left( {SAB} \right)\).

Do đó, A là hình chiếu vuông góc của điểm C trên mặt phẳng (SAB).

Suy ra, hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC lên mặt phẳng (SAB) là đường thẳng SA.

Đáp án B.

II. Tự luận
Câu 1 :

Cho hàm số: \(y = \ln \left[ {\left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2} \right]\).

a) Với \(m = 1\), hãy tìm tập xác định của hàm số trên.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định với mọi giá trị thực của x.
Phương pháp giải :

Hàm số \(y = \ln u\left( x \right)\) xác định khi \(u\left( x \right) > 0\).

Lời giải chi tiết :

a) Với \(m = 1\) ta có: \(y = \ln 2 > 0\).

Vậy với \(m = 1\) thì tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

b) Hàm số \(y = \ln \left[ {\left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2} \right]\) xác định với mọi giá trị thực của x khi và chỉ khi \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Trường hợp 1: \({m^2} + 4m - 5 = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 5} \right)\left( {m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 5\\m = 1\end{array} \right.\)

Với \(m = 1\) ta có: \(f\left( x \right) = 2 > 0\). Do đó, f(x) xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, \(m = 1\) thỏa mãn.

Với \(m =  - 5\) ta có: \(f\left( x \right) = 12x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{{ - 1}}{6}\). Do đó, f(x) không xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, \(m =  - 5\) không thỏa mãn.

Trường hợp 2: Với \({m^2} + 4m - 5 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {m + 5} \right)\left( {m - 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 5\\m \ne 1\end{array} \right.\).

Hàm số \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m - 5 > 0\\\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} + 4m - 5} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 5} \right)\left( {m - 1} \right) > 0\\ - {m^2} - 10m + 11 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 5} \right)\left( {m - 1} \right) > 0\\\left( {m + 11} \right)\left( {m - 1} \right) > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m <  - 5\\m > 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m <  - 11\\m > 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 11\\m > 1\end{array} \right.\)

Vậy với \(m \in \left( { - \infty ; - 11} \right) \cup \left[ {1; + \infty } \right)\) thì hàm số \(y = \ln \left[ {\left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2} \right]\) có tập xác định với mọi giá trị thực của x.

Câu 2 :

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a) H là trực tâm của tam giác ABC.

b) \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).
Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

a) Vì \(OA \bot OB,OA \bot OC\) và OB và OC cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (OBC) nên \(OA \bot \left( {OBC} \right)\). Mà \(BC \subset \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\)

Vì \(OH \bot \left( {ABC} \right),BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH \bot BC\)

Ta có: \(OH \bot BC,OA \bot BC\), OA và OH cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (OAH).

Do đó, \(BC \bot \left( {OAH} \right)\). Mà \(AH \subset \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).

Chứng minh tương tự ta có: \(CA \bot BH\).

Tam giác ABC có hai đường cao AH và BH cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác ABC.

b) Gọi K là giao điểm của AH và BC.

Khi đó, \(OK \bot BC\left( {do\;BC \bot \left( {OAH} \right)} \right),\) \(OA \bot OK\left( {do\;OA \bot \left( {OBC} \right)} \right)\)

Suy ra OK là đường cao của tam giác vuông OBC và OH là đường cao của tam giác vuông OAK.

Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông OBC vuông tại O và OAK vuông tại O ta có: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{K^2}}}\) và \(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)

Do đó, \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)

Câu 3 :

Tính giá trị biểu thức \(P = {\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}} \right)^{2023}}.{\left( {3 - \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}} \right)^{2024}}\)
Phương pháp giải :

\(\sqrt[n]{{{a^n}}} = a\) nếu n là số lẻ.

Lời giải chi tiết :

Đặt \(x = \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}\)

\( \Rightarrow {x^3} = 9 + \sqrt {80}  + 3{\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}} \right)^2}\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} + 3\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}{\left( {\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}} \right)^2} + 9 - \sqrt {80} \)

\( = 18 + 3\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}.\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}} \right)\)

\( = 18 + 3x\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}.\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} = 18 + 3x\)

Do đó, \({x^3} - 3x - 18 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 6} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 3\) (do \({x^2} + 3x + 6 = {\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0\) với mọi số thực x)

Suy ra: \(3 - \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} = \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}\)

Ta có: \(P = {\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}} \right)^{2023}}.{\left( {3 - \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}} \right)^{2024}} = {\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}} \right)^{2023}}.{\left( {\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}} \right)^{2024}}\)

\( = {\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}.\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}} \right)^{2023}}.\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} = \left( {\sqrt[3]{1}} \right)\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} = \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}\)

Bài liên quan
close