Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 8Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Cánh diều Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh Phần trắc nghiệmĐề bài
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 :
Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, góc lượng giác nào trong các góc lượng giác có số đo dưới đây có cùng điểm cuối với góc lượng giác có số đo \(\frac{\pi }{4}\)?
Câu 2 :
Cho \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 3 :
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{{n + 1}}\). Số hạng thứ 9 của dãy là
Câu 4 :
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
Câu 5 :
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 4\), công bội q = 3. Giá trị của \({u_2}\) bằng
Câu 6 :
Giới hạn \(\lim \frac{1}{{2n + 5}}\) bằng
Câu 7 :
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\). Hàm số gián đoạn tại điểm
Câu 8 :
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Câu 9 :
Cho tứ diện ABCD. Cặp đường thẳng nào sau đây chéo nhau?
Câu 10 :
Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?
Câu 11 :
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\lim \left( {4 + {u_n}} \right) = 3\). Giá trị của \(\lim \left( {{u_n}} \right)\) bằng
Câu 12 :
Công thức nào sau đây sai?
Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1 :
Cho hàm số y = sinx. a) sinx < 0 khi \( - \frac{\pi }{2} < x < 0\).
Đúng
Sai
b) Hàm số y = sinx là hàm số lẻ với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Đúng
Sai
c) Phương trình sinx = 1 có nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
Đúng
Sai
d) Hàm số y = sinx có chặn dưới là 0.
Đúng
Sai
Câu 2 :
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2023;{u_2} = 2024\\2{u_{n + 1}} = {u_n} + {u_{n + 2}}\end{array} \right.\) với \(n \ge 1\). a) Dãy \(\left( {{v_n}} \right):{v_n} = {u_n} - {u_{n - 1}}\) là dãy không đổi.
Đúng
Sai
b) Biểu thị \({u_n}\) qua \({u_{n - 1}}\) ta được \({u_n} = {u_{n - 1}} + 1\).
Đúng
Sai
c) \({u_3} = 2025\).
Đúng
Sai
d) \({u_{2024}} = 4044\).
Đúng
Sai
Câu 3 :
Cho g(x) = \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - x - 6}}{{x + 2}}\\2x + a\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}khi\\khi\end{array}\) \(\begin{array}{l}x \ne - 2\\x = - 2\end{array}\). a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - x - 6}}{{x + 2}} = - 4\).
Đúng
Sai
b) g(x) liên tục tại x = -2 thì a = 1.
Đúng
Sai
c) g(x) liên tục tại x = -2 thì bộ ba số a; 2; 5 tạo thành một cấp số cộng.
Đúng
Sai
d) g(x) liên tục tại x = -2 thì bộ ba số 1; a; 1 tạo thành một cấp số nhân.
Đúng
Sai
Câu 4 :
Cho tứ diện ABCD có điểm G là trọng tâm tam giác ABD và điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC. a) MG cắt AC.
Đúng
Sai
b) MG//AB.
Đúng
Sai
c) MG//(ACD).
Đúng
Sai
d) \((BGM) \cap (ACD) = MG\).
Đúng
Sai
Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1 :
Chiều cao h (m) của một cabin trên vòng quay vào thời điểm t giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức \(h = 30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right)\). Sau bao nhiêu giây thì cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên (viết kết quả ở dạng số thập phân)? Đáp án:
Câu 2 :
Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá của mét khoan đầu tiên là 100 nghìn đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 30 nghìn đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một người cần khoan một giếng sâu 20 m để lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bao nhiêu nghìn đồng? Đáp án:
Câu 3 :
Tìm công bội của cấp số nhân thỏa \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 135\\{u_4} + {u_5} + {u_6} = 40\end{array} \right.\) là \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị a + b là bao nhiêu? Đáp án:
Câu 4 :
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt x - 1}}{{{x^2} - 1}}\\{m^2}x\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}khi\\khi\end{array}\) \(\begin{array}{l}x \ne 1\\x = 1\end{array}\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\)? Đáp án:
Câu 5 :
Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và BD. Gọi (P) là mặt phẳng qua I, J và cắt hai cạnh AC và AD lần lượt tại M và N. Để IJNM là hình thoi thì AC = kAM và AB = mCD. Khi đó giá trị của k + m bằng bao nhiêu? Đáp án:
Câu 6 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua BD và song song với SA, mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt SC tại K. Biết SK = mKC. Tính giá trị biểu thức \({m^2} + 2\). Đáp án: Lời giải và đáp án
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 :
Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, góc lượng giác nào trong các góc lượng giác có số đo dưới đây có cùng điểm cuối với góc lượng giác có số đo \(\frac{\pi }{4}\)?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Các góc lượng giác hơn kém nhau \(k2\pi \) có cùng điểm cuối. Lời giải chi tiết :
Ta có \(\frac{{25\pi }}{4} = \frac{\pi }{4} + 3.2\pi \).
Câu 2 :
Cho \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Dựa vào vị trí điểm cuối của góc lượng giác để xét dấu. Lời giải chi tiết :
Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\frac{\pi }{2} < \alpha + \frac{\pi }{2} < \pi \). Khi đó \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) > 0\), \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) < 0\) suy ra \(\cot \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) < 0\). Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\pi < \alpha + \pi < \frac{{3\pi }}{2}\). Khi đó \(\sin \left( {\alpha + \pi } \right) < 0\), \(\cos \left( {\alpha + \pi } \right) < 0\) suy ra \(\tan \left( {\alpha + \pi } \right) > 0\).
Câu 3 :
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{{n + 1}}\). Số hạng thứ 9 của dãy là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Thay 9 vào n và tính. Lời giải chi tiết :
\({u_9} = \frac{{{{( - 1)}^{9 - 1}}}}{{9 + 1}} = \frac{1}{{10}}\).
Câu 4 :
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tính chất \({u_{n + 1}} = {u_n} + d\) thì được gọi là một cấp số cộng. Lời giải chi tiết :
Ta thấy dãy số 1; -3; -7; -11; -15 là một cấp số cộng có số hạng đầu và công sai d = -4.
Câu 5 :
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 4\), công bội q = 3. Giá trị của \({u_2}\) bằng
Đáp án : D Phương pháp giải :
\({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\). Lời giải chi tiết :
\({u_2} = {u_1}q = 4.3 = 12\).
Câu 6 :
Giới hạn \(\lim \frac{1}{{2n + 5}}\) bằng
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng quy tắc tính giới hạn của dãy số. Lời giải chi tiết :
Ta có \(\lim (2n + 5) = + \infty \) suy ra \(\lim \frac{1}{{2n + 5}} = 0\).
Câu 7 :
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\). Hàm số gián đoạn tại điểm
Đáp án : A Phương pháp giải :
f(x) gián đoạn tại điểm mà hàm số không xác định. Lời giải chi tiết :
Hàm số có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \{ - 2\} \), do đó hàm số không liên tục tại \({x_0} = - 2\).
Câu 8 :
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng khái niệm, tính chất của đường thẳng, mặt phẳng trong không gian. Lời giải chi tiết :
A sai vì mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm.
Câu 9 :
Cho tứ diện ABCD. Cặp đường thẳng nào sau đây chéo nhau?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Dựa vào định nghĩa tứ diện. Lời giải chi tiết :
BC, AD là hai đường chéo nhau.
Câu 10 :
Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Dựa vào tính chất của phép chiếu song song. Lời giải chi tiết :
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Vì hình chữ nhật có hai cặp cạnh song song nên hình chiếu của nó cũng phải là tứ giác có hai cặp cạnh song song hoặc trở thành một đoạn thẳng. Vì hình thang chỉ có một cặp cạnh song song nên không thể là hình chiếu của hình chữ nhật.
Câu 11 :
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\lim \left( {4 + {u_n}} \right) = 3\). Giá trị của \(\lim \left( {{u_n}} \right)\) bằng
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất của giới hạn. Lời giải chi tiết :
\(\lim \left( {4 + {u_n}} \right) = 3 \Leftrightarrow \lim 4 + \lim {u_n} = 3 \Leftrightarrow \lim {u_n} = 3 - \lim 4 = 3 - 4 = - 1\).
Câu 12 :
Công thức nào sau đây sai?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Dựa vào công thức cộng lượng giác. Lời giải chi tiết :
B sai vì \(\cos (a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).
Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1 :
Cho hàm số y = sinx. a) sinx < 0 khi \( - \frac{\pi }{2} < x < 0\).
Đúng
Sai
b) Hàm số y = sinx là hàm số lẻ với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Đúng
Sai
c) Phương trình sinx = 1 có nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
Đúng
Sai
d) Hàm số y = sinx có chặn dưới là 0.
Đúng
Sai
Đáp án
a) sinx < 0 khi \( - \frac{\pi }{2} < x < 0\).
Đúng
Sai
b) Hàm số y = sinx là hàm số lẻ với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Đúng
Sai
c) Phương trình sinx = 1 có nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
Đúng
Sai
d) Hàm số y = sinx có chặn dưới là 0.
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
a) Dựa vào vị trí điểm cuối của góc lượng giác để nhận xét dấu của giá trị lượng giác. b) Hàm số f(x) là hàm số lẻ khi thỏa mãn các điều kiện: - Nếu \(x \in D\) thì \( - x \in D\). - Có \(f( - x) = - f(x)\). c) Sử dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản. d) Dựa vào tập giá trị của hàm số. Lời giải chi tiết :
a) Đúng. \( - \frac{\pi }{2} < x < 0\) nên điểm cuối của góc lượng giác nằm ở góc phần tư thứ IV. Khi đó sinx < 0. b) Đúng. Tập xác định của hàm số y = sinx là \(D = \mathbb{R}\) nên \(x \in D\) thì \( - x \in D\). Mặt khác \(f( - x) = \sin ( - x) = - \sin x = - f(x)\). Vậy hàm số y = sinx là hàm số lẻ. c) Sai. \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\). d) Sai. Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1\) nên hàm số y = sinx có chặn dưới là -1.
Câu 2 :
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2023;{u_2} = 2024\\2{u_{n + 1}} = {u_n} + {u_{n + 2}}\end{array} \right.\) với \(n \ge 1\). a) Dãy \(\left( {{v_n}} \right):{v_n} = {u_n} - {u_{n - 1}}\) là dãy không đổi.
Đúng
Sai
b) Biểu thị \({u_n}\) qua \({u_{n - 1}}\) ta được \({u_n} = {u_{n - 1}} + 1\).
Đúng
Sai
c) \({u_3} = 2025\).
Đúng
Sai
d) \({u_{2024}} = 4044\).
Đúng
Sai
Đáp án
a) Dãy \(\left( {{v_n}} \right):{v_n} = {u_n} - {u_{n - 1}}\) là dãy không đổi.
Đúng
Sai
b) Biểu thị \({u_n}\) qua \({u_{n - 1}}\) ta được \({u_n} = {u_{n - 1}} + 1\).
Đúng
Sai
c) \({u_3} = 2025\).
Đúng
Sai
d) \({u_{2024}} = 4044\).
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
Chứng minh dãy trên là cấp số cộng thông qua tính chất của cấp số cộng rồi sử dụng công thức số hạng tổng quát. Lời giải chi tiết :
a) Đúng. Ta có \(2{u_{n + 1}} = {u_n} + {u_{n + 2}} \Leftrightarrow {u_n} = 2{u_{n + 1}} - {u_{n + 2}}\). Từ đó, thay n - 1 vào n ta được \({u_{n - 1}} = 2{u_{n - 1 + 1}} - {u_{n - 1 + 2}} \Leftrightarrow {u_{n - 1}} = 2{u_n} - {u_{n + 1}} \Leftrightarrow 2{u_n} = {u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} \Leftrightarrow {u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + {u_{n + 1}}}}{2}\). Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng, tức \({u_n} = {u_{n - 1}} + d\). Do đó \({v_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} = d\) không đổi. b) Đúng. \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với công sai \(d = {u_2} - {u_1} = 2024 - 2023 = 1\). Do đó \({u_n} = {u_{n - 1}} + d = {u_{n - 1}} + 1\). c) Đúng. \({u_3} = {u_2} + d = 2024 + 1 = 2025\). d) Sai. \({u_{2024}} = {u_1} + (2024 - 1).d = 2023 + (2024 - 1).1 = 4046\).
Câu 3 :
Cho g(x) = \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - x - 6}}{{x + 2}}\\2x + a\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}khi\\khi\end{array}\) \(\begin{array}{l}x \ne - 2\\x = - 2\end{array}\). a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - x - 6}}{{x + 2}} = - 4\).
Đúng
Sai
b) g(x) liên tục tại x = -2 thì a = 1.
Đúng
Sai
c) g(x) liên tục tại x = -2 thì bộ ba số a; 2; 5 tạo thành một cấp số cộng.
Đúng
Sai
d) g(x) liên tục tại x = -2 thì bộ ba số 1; a; 1 tạo thành một cấp số nhân.
Đúng
Sai
Đáp án
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - x - 6}}{{x + 2}} = - 4\).
Đúng
Sai
b) g(x) liên tục tại x = -2 thì a = 1.
Đúng
Sai
c) g(x) liên tục tại x = -2 thì bộ ba số a; 2; 5 tạo thành một cấp số cộng.
Đúng
Sai
d) g(x) liên tục tại x = -2 thì bộ ba số 1; a; 1 tạo thành một cấp số nhân.
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
Sử dụng quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm. Hàm số f(x) liên tục tại \({x_0}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\). Lời giải chi tiết :
a) Sai \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - x - 6}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{(x - 3)(x + 2)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} (x - 3) = - 2 - 3 = - 5\). b) Sai. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - x - 6}}{{x + 2}} = - 5\); \(g( - 2) = 2.( - 2) + a = a - 4\). Để g(x) liên tục tại x = -2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} g(x) = g( - 2) \Leftrightarrow - 5 = a - 4 \Leftrightarrow a = - 1\). c) Đúng. Bộ ba số -1; 2; 5 tạo thành cấp số cộng với công sai d = 3. d) Đúng. Bộ ba số 1; -1; 1 tạo thành một cấp số nhân với công bội q = -1.
Câu 4 :
Cho tứ diện ABCD có điểm G là trọng tâm tam giác ABD và điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC. a) MG cắt AC.
Đúng
Sai
b) MG//AB.
Đúng
Sai
c) MG//(ACD).
Đúng
Sai
d) \((BGM) \cap (ACD) = MG\).
Đúng
Sai
Đáp án
a) MG cắt AC.
Đúng
Sai
b) MG//AB.
Đúng
Sai
c) MG//(ACD).
Đúng
Sai
d) \((BGM) \cap (ACD) = MG\).
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
Sử dụng các điều kiện, tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song. Lời giải chi tiết :
Gọi I là trung điểm của AD. Khi đó BI là đường trung tuyến tam giác ABD. Suy ra \(\frac{{BG}}{{BI}} = \frac{2}{3}\). Vì MB = 2MC suy ra \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3}\). Xét tam giác BCI có \(\frac{{BG}}{{BI}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3}\) suy ra MG//CI (định lí Thales đảo). Mà \(MG\not{ \subset }(ACD)\), \(CI \subset (ACD)\) nên MG//(ACD). a) Sai. Có MG//(ACD) mà \(AC \subset (ACD)\) nên MG không cắt AC. b) Sai. MG và AB là hai đường thẳng chéo nhau. c) Đúng. MG//(ACD). d) Sai. Ta có: Vì \(\left\{ \begin{array}{l}C \in BM \subset (BMG)\\C \in (ACD)\end{array} \right.\) nên \(C \in (BGM) \cap (ACD)\). Vì \(\left\{ \begin{array}{l}I \in BG \subset (BMG)\\I \in AD \subset (ACD)\end{array} \right.\) nên \(I \in (BGM) \cap (ACD)\). Vậy \((BGM) \cap (ACD) = CI\).
Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1 :
Chiều cao h (m) của một cabin trên vòng quay vào thời điểm t giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức \(h = 30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right)\). Sau bao nhiêu giây thì cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên (viết kết quả ở dạng số thập phân)? Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Giải phương trình \(30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 40\) và tìm nghiệm t dương nhỏ nhất. Lời giải chi tiết :
\(30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 40 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{{25}}{6} + k50\\t = \frac{{25}}{2} + k50\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{{25}}{6} + k50\\t = \frac{{25}}{2} + k50\end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\). Ta thấy nghiệm dương nhỏ nhất là \(t = \frac{{25}}{2} = 12,5\) (giây) khi k = 0. Vậy sau 12,5 giây thì cabin đạt độ cao 40m lần đầu tiên.
Câu 2 :
Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá của mét khoan đầu tiên là 100 nghìn đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 30 nghìn đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một người cần khoan một giếng sâu 20 m để lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bao nhiêu nghìn đồng? Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2}\). Lời giải chi tiết :
Số tiền khoan mỗi mét lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 100\) và d = 30 (nghìn đồng). Tổng số tiền cần để khoan 20m giếng là: \({S_{20}} = \frac{{20.\left[ {2.100 + (20 - 1).30} \right]}}{2} = 7700\). Vậy số tiền cần thanh toán là 7700 nghìn đồng.
Câu 3 :
Tìm công bội của cấp số nhân thỏa \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 135\\{u_4} + {u_5} + {u_6} = 40\end{array} \right.\) là \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị a + b là bao nhiêu? Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\). Lời giải chi tiết :
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\\{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + {q^4}) = 51\\{u_1}q(1 + {q^4}) = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow q = \frac{{102}}{{51}} = 2\). Suy ra \({u_1} = \frac{{51}}{{1 + {2^4}}} = 3\). Vậy \({u_3} = {u_1}{q^2} = {3.2^2} = 12\).
Câu 4 :
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt x - 1}}{{{x^2} - 1}}\\{m^2}x\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}khi\\khi\end{array}\) \(\begin{array}{l}x \ne 1\\x = 1\end{array}\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\)? Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Hàm số liên tục tại \({x_0}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = f({x_0})\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \(f(1) = {m^2}.1 = {m^2}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{\left( {\sqrt 1 + 1} \right)\left( {1 + 1} \right)}} = \frac{1}{4}\). Để hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow {m^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{2}\). Vậy không có giá trị nguyên m nào để f(x) liên tục tại \({x_0} = 1\).
Câu 5 :
Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và BD. Gọi (P) là mặt phẳng qua I, J và cắt hai cạnh AC và AD lần lượt tại M và N. Để IJNM là hình thoi thì AC = kAM và AB = mCD. Khi đó giá trị của k + m bằng bao nhiêu? Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất đường trung bình, định lí Thales. Lời giải chi tiết :
Vì IJ là đường trung bình của tam giác ABC nên IJ//CD và \(IJ = \frac{1}{2}CD\). Để IJNM là hình thoi thì IJNM phải là hình bình hành và có NM = MI. Để IJNM là hình bình hành thì cần MN//IJ và MN = IJ, hay MN//CD và \(MN = \frac{1}{2}CD\). Khi đó, MN là đường trung bình tam giác ACD, tức M, N lần lượt là trung điểm của AC, AD. Do đó AC = 2AM nên k = 2. Ta cũng có MI là đường trung bình tam giác ABC nên \(MI = \frac{1}{2}AB\). Để MN = MI thì AB = CD, suy ra m = 1. Vậy k + m = 2 + 1 = 3.
Câu 6 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua BD và song song với SA, mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt SC tại K. Biết SK = mKC. Tính giá trị biểu thức \({m^2} + 2\). Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Sử dụng điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng. Sử dụng định lý Thales. Lời giải chi tiết :
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua BD, cắt AC tại K nên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cũng là mặt phẳng (BKD). Giả sử AC giao BD tại O. Khi đó O là trung điểm của AC, hay \(\frac{{OC}}{{AC}} = \frac{1}{2}\). Vì \(O \in BD \subset (BKD)\) nên \(OK \subset (BKD)\). Vì SA//(BKD) nên SA không cắt OK (1) Mà \(\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset (SAC)\\K \in SC \subset (SAC)\end{array} \right.\) suy ra \(OK \subset (SAC)\) (2) Lại có \(SA \subset (SAC)\) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra SA//OK. Xét tam giác SAC có OK//SA: \(\frac{{OC}}{{AC}} = \frac{{CK}}{{SC}} = \frac{1}{2}\) (định lí Thales). Suy ra SK = KC, do đó m = 1. Vậy \({m^2} + 2 = {1^2} + 2 = 3\).
|
