Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 7

Mực nước thấp nhất khi \(h = \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 2\pi } \right) + 5\) nhỏ nhất, hay \(\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 2\pi } \right)\) nhỏ nhất.

Khi đó \(\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 2\pi } \right) =  - 1 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} = \pi  + k2\pi \)

\( \Leftrightarrow \frac{t}{6} = 1 + 12k \Leftrightarrow t = 6 + 12k\).

Ta có \(0 \le t < 24 \Leftrightarrow 0 \le 6 + 12k < 24 \Leftrightarrow  - 6 \le 12k < 18 \Leftrightarrow  - 2 \le k < \frac{3}{2}\).

Vậy k = 0 hoặc k = 1.

Với k = 0 thì t = 6 + 12.0 = 6.

Với k = 1 thì t = 6 + 12.1 = 18.

Vậy mực nước của kênh thấp nhất trễ nhất vào thời điểm t = 18 (giờ).

Vì PD = 2PC nên \(\frac{{CP}}{{CD}} = \frac{1}{3}\).

Xét trong mặt phẳng (BCD) có NP không song song với BD do \(\frac{{CN}}{{CB}} \ne \frac{{CP}}{{CD}}\) \(\left( {\frac{1}{2} \ne \frac{1}{3}} \right)\).

Giả sử NP cắt BD tại H. Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}H \in NP \subset (MNP)\\H \in BD \subset (ABD)\end{array} \right.\) suy ra \(H \in (MNP) \cap (ABD)\) (1)

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}M \in (MNP)\\H \in AB \subset (ABD)\end{array} \right.\) suy ra \(M \in (MNP) \cap (ABD)\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MH là giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD).

Xét trong mặt phẳng (ABD), giả sử MH cắt AD tại Q’.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}Q' \in MH \subset (MNP)\\Q' \in AD\end{array} \right.\), suy ra Q’ là giao điểm của AD và mặt phẳng (MNP).

Do đó Q’ trùng Q.

Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình, suy ra MN//AC.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}(ABC) \cap (ACD) = AC\\(ABC) \cap (MNP) = MN\\(ACD) \cap (MNP) = PQ\\MN//AC\end{array} \right.\) suy ra PQ//MN//AC.

Xét tam giác ACD có PQ//AC: \(\frac{{AQ}}{{AD}} = \frac{{CP}}{{CD}} = \frac{1}{3} \approx 0,33\).