Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11 - Cánh diều

Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều - Đề số 5

Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Tải về

Tải về đề thi và đáp án Tải về đề thi Tải về đáp án
Làm đề thi

Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Chọn đáp án đúng. Với a là số thực khác 0 thì:

Đề bài

I. Trắc nghiệm
Câu 1 :

Chọn đáp án đúng.

Với a là số thực khác 0 thì:

  • A
    \({a^0} = 0\).
  • B
    \({a^0} = \frac{1}{a}\).
  • C
    \({a^0} =  - 1\).
  • D
    \({a^0} = 1\).
Câu 2 :

Cho biểu thức \(P = \sqrt[6]{x}\) với \(x > 0\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

  • A
    \(P = {x^{\sqrt 6 }}\).
  • B
    \(P = {x^{\frac{1}{6}}}\).
  • C
    \(P = {x^6}\).
  • D
    \(P = {x^{ - 6}}\).
Câu 3 :

Chọn đáp án đúng:

  • A
    \(\sqrt[8]{{{{\left( {x - 1} \right)}^8}}} = x - 1\).
  • B
    \(\sqrt[8]{{{{\left( {x - 1} \right)}^8}}} = x + 1\).
  • C
    \(\sqrt[8]{{{{\left( {x - 1} \right)}^8}}} = \left| {x - 1} \right|\).
  • D
    \(\sqrt[8]{{{{\left( {x - 1} \right)}^8}}} =  - x + 1\).
Câu 4 :

Cho a là số dương, rút gọn biểu thức \(\frac{{\sqrt a .\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt[4]{a}}}\) được kết quả là:

  • A
    \(\sqrt[{12}]{{{a^{11}}}}\).
  • B
    \(\sqrt[{121}]{a}\).
  • C
    \(\sqrt[{11}]{{{a^{12}}}}\).
  • D
    \(\sqrt[3]{{{a^4}}}\).
Câu 5 :

Giả sử một lọ nuôi cấy 100 con vi khuẩn lúc ban đầu và số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi sau mỗi 2 giờ. Khi đó, số vi khuẩn N sau t giờ là \(N = {100.2^{\frac{t}{2}}}\) (con). Sau 4 giờ 30 phút thì có bao nhiêu con vi khuẩn? (làm tròn đến hàng đơn vị).

  • A
    474 con.
  • B
    475 con.
  • C
    476 con.
  • D
    477 con.
Câu 6 :

Cho hai số thực dương a, b với a khác 1. Số thực c để… được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là \({\log _a}b\).

Biểu thức phù hợp để điền vào “…” được câu đúng là:  

  • A
    \({a^c} = b\).
  • B
    \({a^b} = c\).
  • C
    \({b^a} = c\).
  • D
    \({c^a} = b\).
Câu 7 :

Chọn đáp án đúng.

Với \(a,b > 0,a \ne 1\) thì:

  • A
    \({\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) =  - \frac{1}{{{{\log }_a}b}}\).
  • B
    \({\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) =  - {\log _a}b\).
  • C
    \({\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) = {\log _a}\left( { - b} \right)\).
  • D
    \({\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) =  - {\log _a}\left( { - b} \right)\).
Câu 8 :

Chọn đáp án đúng:

Với n số thực dương \({b_1},{b_2},..,{b_n},a > 0,a \ne 1\) thì:

  • A
    \({\log _a}\left( {{b_1}.{b_2}...{b_n}} \right) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2} + ... + {\log _a}{b_n}\).
  • B
    \({\log _a}\left( {{b_1}.{b_2}...{b_n}} \right) = {\log _a}{b_1}.{\log _a}{b_2}...{\log _a}{b_n}\).
  • C
    \({\log _a}\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right) = {\log _a}{b_1}.{\log _a}{b_2}...{\log _a}{b_n}\).
  • D
    \({\log _a}\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2} + ... + {\log _a}{b_n}\).
Câu 9 :

Cho x và y là các số dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A
    \({3^{\ln x + \ln y}} = {3^{\ln x}} + {3^{\ln y}}\).
  • B
    \({3^{\ln \left( {x + y} \right)}} = {3^{\ln x}}{.3^{\ln y}}\).
  • C
    \({3^{\ln \left( {xy} \right)}} = {3^{\ln x}}{.3^{\ln y}}\).
  • D
    \({3^{\ln x.\ln y}} = {3^{\ln x}} + {3^{\ln y}}\).
Câu 10 :

Giá trị của biểu thức \(2{\log _5}10 + {\log _{25}}0,25\) là:

  • A
    \(\frac{1}{{{{\log }_{25}}50}}\).
  • B
    \(\frac{1}{{{{\log }_5}50}}\).
  • C
    \({\log _{25}}50\).
  • D
    \({\log _5}50\).
Câu 11 :

Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) với giá trị nào của a dưới đây?

  • A
    \(a = \frac{1}{2}\).
  • B
    \(a = 0,75\).
  • C
    \(a = \frac{3}{2}\).
  • D
    \(a = \ln 2\).
Câu 12 :

Hàm số nào dưới đây là không phải hàm số mũ?

  • A
    \(y = {3^x}\).
  • B
    \(y = {\left( {3x} \right)^3}\).
  • C
    \(y = {\pi ^x}\).
  • D
    \(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\).
Câu 13 :

Hàm số nào sau đây có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?

  • A
    \(y = \ln x\).
  • B
    \(y = \log \frac{x}{4}\).
  • C
    \(y = {e^{5x}}\).
  • D
    \(y = {\left( {\frac{2}{x}} \right)^5}\).
Câu 14 :

Hàm số \(y = {\log _{10}}x\) có tập giá trị là:

  • A
    \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
  • B
    \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
  • C
    \(\left( {0; + \infty } \right)\).
  • D
    \(\left( { - 10;10} \right)\).
Câu 15 :

Cho đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\) có đồ thị là hình dưới đây:

Tìm a.

  • A
    \(a = 2\).
  • B
    \(a = \sqrt 2 \).
  • C
    \(a = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
  • D
    \(a = \frac{1}{2}\).
Câu 16 :

Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để hàm số \(y = {\left( { - {a^2} + 2a + 4} \right)^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?

  • A
    1.
  • B
    2.
  • C
    3.
  • D
    4.
Câu 17 :

Mẫu số liệu ghép nhóm dưới đây thể hiện tuổi (theo năm) của 120 chiếc ô tô:

Độ dài nhóm  \(\left[ {12;16} \right)\) là:

  • A
    \(18\).
  • B
    \(4\).
  • C
    12.
  • D
    16.
Câu 18 :

Chọn đáp án đúng

Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì:

  • A
    \(A \cap B = \emptyset \).
  • B
    \(P\left( {A \cap B} \right) = A\).
  • C
    Cả A và B đều đúng.
  • D
    Cả A và B đều sai.
Câu 19 :

Một mẫu số liệu cho ở bảng tần số ghép nhóm dưới đây:

Cỡ mẫu của mẫu số liệu là:

  • A
    \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_m}\).
  • B
    \(n = {n_1}.{n_2}...{n_m}\).
  • C
    \(n = {a_1} + {a_2} + ... + {a_m}\).
  • D
    Cả A, B, C đều sai.
Câu 20 :

Cho hai biến cố A và B. Biết rằng: \(P\left( A \right) = 0,2;P\left( B \right) = 0,8\). A và B là hai biến cố độc lập khi:

  • A
    \(P\left( {AB} \right) = 0,2\).
  • B
    \(P\left( {AB} \right) = 0,8\).
  • C
    \(P\left( {AB} \right) = 0,6\).
  • D
    \(P\left( {AB} \right) = 0,16\).
Câu 21 :

Một nhóm gồm 8 học sinh nam và 12 học sinh nữ. Chọn ra ngẫu nhiên 5 học sinh từ nhóm. Xác suất của biến cố: “Có ít nhất 3 học sinh nữ trong 5 học sinh vừa chọn” là:

  • A
    \(\frac{{682}}{{969}}\).
  • B
    \(\frac{{287}}{{969}}\).
  • C
    \(\frac{{40}}{{57}}\).
  • D
    \(\frac{{17}}{{57}}\).
Câu 22 :

Một hộp chứa 20 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 20. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ từ hộp. Xác suất của biến cố: “Tổng các số ghi trên hai thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 37” là:

  • A
    \(\frac{1}{{190}}\).
  • B
    \(\frac{2}{{190}}\).
  • C
    \(\frac{3}{{190}}\).
  • D
    \(\frac{4}{{190}}\).
Câu 23 :

Nhân ngày hội đọc sách, các học sinh của một trường học mang sách cũ đến tặng thư viện trường và trao đổi với các bạn học sinh khác. Bảng sau thống kê số lượng sách cũ mà các bạn học sinh lớp 11B mang đến trường:

Trung bình mỗi bạn học sinh lớp 11B mang đến trường bao nhiêu cuốn sách?

  • A
    4 cuốn.
  • B
    5 cuốn.
  • C
    6 cuốn.
  • D
    7 cuốn.
Câu 24 :

“Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian, kí hiệu (a, b) là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt … hoặc … với a và b”. Từ (cụm từ) thích hợp để điền vào dấu … để được câu đúng là:

  • A
    vuông góc, trùng.
  • B
    vuông góc, chéo.
  • C
    song song, chéo.
  • D
    song song, trùng.
Câu 25 :

Cho hình chóp S. ABCD có AD//BC. Gọi N là một điểm thuộc cạnh SD (N khác S và D), qua N vẽ đường thẳng song song với AS cắt AD tại M. Chọn đáp án đúng:

  • A
    \(\left( {MN,BC} \right) = \left( {SA,SD} \right)\).
  • B
    \(\left( {MN,BC} \right) = \left( {SD,DA} \right)\).
  • C
    \(\left( {MN,BC} \right) = \left( {SA,AD} \right)\).
  • D
    Cả A, B, C đều sai.
Câu 26 :

Cho tứ diện ABCD có \(AB = CD = 2a\). Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của BC, AD, AC. Biết rằng \(MN = a\sqrt 3 \). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

  • A
    \({90^0}\).
  • B
    \({60^0}\).
  • C
    \({30^0}\).
  • D
    \({70^0}\).
Câu 27 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, \(SA = SC\). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Góc giữa hai đường thẳng SO và IK bằng:

  • A
    \({60^0}\).
  • B
    \({90^0}\).
  • C
    \({120^0}\).
  • D
    \({70^0}\).
Câu 28 :

Cho hình chóp S.ABCD có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Tam giác SAC là tam giác gì?

  • A
    Tam giác vuông tại A.
  • B
    Tam giác cân tại A.
  • C
    Tam giác đều.
  • D
    Tam giác tù tại A.
Câu 29 :

Cho hình chóp S. ABCD như hình vẽ dưới đây:

Biết rằng: \(SA \bot AB,SA \bot AD\).

Chọn khẳng định đúng.

  • A
    SA\( \bot \) (SAC).
  • B
    \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).
  • C
    Cả A và B đều đúng.
  • D
    Cả A và B đều sai.
Câu 30 :

Cho tứ diện OABC sao cho \(OA \bot \left( {OBC} \right)\). Gọi D là trung điểm của BC. Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh AD (M khác A, D). Qua M kẻ đường thẳng song song với AO cắt OD tại N. Chọn đáp án đúng.

  • A
    \(MN \bot \left( {BOC} \right)\).
  • B
    \(MN \bot \left( {OAD} \right)\).
  • C
    Cả A và B đều đúng.
  • D
    Cả A và B đều sai.
Câu 31 :

Cho hình chóp S. ABCD. Gọi A là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD). Khi đó, hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD) là:

  • A
    AC.
  • B
    AD.
  • C
    AB.
  • D
    AS.
Câu 32 :

Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC. Qua S kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cắt mặt phẳng đó tại H. Khi đó, góc giữa SH và MP bằng bao nhiêu độ?

  • A
    \({60^0}\).
  • B
    \({90^0}\).
  • C
    \({120^0}\).
  • D
    \({70^0}\).
Câu 33 :

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (COB) là điểm nào?

  • A
    Q (Q là trung điểm của OB).
  • B
    B.
  • C
    O.
  • D
    H (H là trung điểm của OC).
Câu 34 :

Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M là trung điểm của CD. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

  • A
    \({30^0}\).
  • B
    \({60^0}\).
  • C
    \({90^0}\).
  • D
    \({45^0}\).
Câu 35 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).  Kẻ BM vuông góc với SC (M thuộc SC). Tam giác SMD là tam giác:

  • A
    Vuông tại M.
  • B
    Cân tại M.
  • C
    Tù tại M.
  • D
    Tam giác nhọn.
II. Tự luận
Câu 1 :

Cho hàm số: \(y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right)} \).

a) Với \(m = 0\), hãy tìm tập xác định của hàm số trên.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Câu 2 :

Cho hình vuông ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại H, lấy điểm S. Chứng minh rằng:

a) \(AC \bot \left( {SHK} \right)\).

b) \(CK \bot \left( {SDH} \right)\).
Câu 3 :

Ông B vay vốn ngân hàng với số tiền 200 000 000 đồng. Ông dự định sau đúng 5 năm thì trả hết nợ theo hình thức: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau. Hỏi theo cách đó, số tiền mà ông sẽ phải trả cho ngân hàng mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết lãi suất hàng tháng là 1,2% và không thay đổi trong thời gian ông hoàn nợ (làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải và đáp án

I. Trắc nghiệm
Câu 1 :

Chọn đáp án đúng.

Với a là số thực khác 0 thì:

  • A
    \({a^0} = 0\).
  • B
    \({a^0} = \frac{1}{a}\).
  • C
    \({a^0} =  - 1\).
  • D
    \({a^0} = 1\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Với a là số thực khác 0 thì \({a^0} = 1\).

Lời giải chi tiết :

Với a là số thực khác 0 thì \({a^0} = 1\).

Đáp án D.

Câu 2 :

Cho biểu thức \(P = \sqrt[6]{x}\) với \(x > 0\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

  • A
    \(P = {x^{\sqrt 6 }}\).
  • B
    \(P = {x^{\frac{1}{6}}}\).
  • C
    \(P = {x^6}\).
  • D
    \(P = {x^{ - 6}}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho số thực dương a và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m,n \in \mathbb{Z},n > 0\). Ta có: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)

Lời giải chi tiết :

\(P = \sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{6}}}\)

Đáp án B.

Câu 3 :

Chọn đáp án đúng:

  • A
    \(\sqrt[8]{{{{\left( {x - 1} \right)}^8}}} = x - 1\).
  • B
    \(\sqrt[8]{{{{\left( {x - 1} \right)}^8}}} = x + 1\).
  • C
    \(\sqrt[8]{{{{\left( {x - 1} \right)}^8}}} = \left| {x - 1} \right|\).
  • D
    \(\sqrt[8]{{{{\left( {x - 1} \right)}^8}}} =  - x + 1\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

\(\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left| a \right|\) khi n chẵn (với các biểu thức đều có nghĩa).

Lời giải chi tiết :

\(\sqrt[8]{{{{\left( {x - 1} \right)}^8}}} = \left| {x - 1} \right|\).

Đáp án C.

Câu 4 :

Cho a là số dương, rút gọn biểu thức \(\frac{{\sqrt a .\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt[4]{a}}}\) được kết quả là:

  • A
    \(\sqrt[{12}]{{{a^{11}}}}\).
  • B
    \(\sqrt[{121}]{a}\).
  • C
    \(\sqrt[{11}]{{{a^{12}}}}\).
  • D
    \(\sqrt[3]{{{a^4}}}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Cho số thực dương a và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m,n \in \mathbb{Z},n > 0\). Ta có: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)

+ Với a là số thực dương, m, n là các số thực bất kì thì: \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}},{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\).

Lời giải chi tiết :

\(\frac{{\sqrt a .\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt[4]{a}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{2}}}.{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}}}} = {a^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4}}} = {a^{\frac{{11}}{{12}}}} = \sqrt[{12}]{{{a^{11}}}}\)

Đáp án A.

Câu 5 :

Giả sử một lọ nuôi cấy 100 con vi khuẩn lúc ban đầu và số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi sau mỗi 2 giờ. Khi đó, số vi khuẩn N sau t giờ là \(N = {100.2^{\frac{t}{2}}}\) (con). Sau 4 giờ 30 phút thì có bao nhiêu con vi khuẩn? (làm tròn đến hàng đơn vị).

  • A
    474 con.
  • B
    475 con.
  • C
    476 con.
  • D
    477 con.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thay t vào công thức $N={{100.2}^{\frac{t}{2}}}$ để tìm số con vi khuẩn.

Lời giải chi tiết :

Đổi 4 giờ 30 phút\( = \frac{9}{2}\) (giờ)

Sau \(\frac{9}{2}\) giờ sẽ có số con vi khuẩn là: \({100.2^{\frac{{\frac{9}{2}}}{2}}} = {100.2^{\frac{9}{4}}} \approx 476\) (con).

Đáp án C.

Câu 6 :

Cho hai số thực dương a, b với a khác 1. Số thực c để… được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là \({\log _a}b\).

Biểu thức phù hợp để điền vào “…” được câu đúng là:  

  • A
    \({a^c} = b\).
  • B
    \({a^b} = c\).
  • C
    \({b^a} = c\).
  • D
    \({c^a} = b\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho hai số thực dương a, b với a khác 1. Số thực c để \({a^c} = b\) được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu \({\log _a}b\).

Lời giải chi tiết :

Cho hai số thực dương a, b với a khác 1. Số thực c để \({a^c} = b\) được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu \({\log _a}b\).

Đáp án A.

Câu 7 :

Chọn đáp án đúng.

Với \(a,b > 0,a \ne 1\) thì:

  • A
    \({\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) =  - \frac{1}{{{{\log }_a}b}}\).
  • B
    \({\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) =  - {\log _a}b\).
  • C
    \({\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) = {\log _a}\left( { - b} \right)\).
  • D
    \({\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) =  - {\log _a}\left( { - b} \right)\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với \(a,b > 0,a \ne 1\) thì \({\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) =  - {\log _a}b\)

Lời giải chi tiết :

\({\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) =  - {\log _a}b\)

Đáp án B.

Câu 8 :

Chọn đáp án đúng:

Với n số thực dương \({b_1},{b_2},..,{b_n},a > 0,a \ne 1\) thì:

  • A
    \({\log _a}\left( {{b_1}.{b_2}...{b_n}} \right) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2} + ... + {\log _a}{b_n}\).
  • B
    \({\log _a}\left( {{b_1}.{b_2}...{b_n}} \right) = {\log _a}{b_1}.{\log _a}{b_2}...{\log _a}{b_n}\).
  • C
    \({\log _a}\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right) = {\log _a}{b_1}.{\log _a}{b_2}...{\log _a}{b_n}\).
  • D
    \({\log _a}\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2} + ... + {\log _a}{b_n}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Với n số thực dương \({b_1},{b_2},..,{b_n}\) thì: \({\log _a}\left( {{b_1}.{b_2}...{b_n}} \right) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2} + ... + {\log _a}{b_n}\)

Lời giải chi tiết :

Với n số thực dương \({b_1},{b_2},..,{b_n}\) thì: \({\log _a}\left( {{b_1}.{b_2}...{b_n}} \right) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2} + ... + {\log _a}{b_n}\)

Đáp án A.

Câu 9 :

Cho x và y là các số dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A
    \({3^{\ln x + \ln y}} = {3^{\ln x}} + {3^{\ln y}}\).
  • B
    \({3^{\ln \left( {x + y} \right)}} = {3^{\ln x}}{.3^{\ln y}}\).
  • C
    \({3^{\ln \left( {xy} \right)}} = {3^{\ln x}}{.3^{\ln y}}\).
  • D
    \({3^{\ln x.\ln y}} = {3^{\ln x}} + {3^{\ln y}}\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Với a là số thực dương, m, n là các số thực bất kì thì: \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\).

+ Với \(a > 0,a \ne 1,b,c > 0\) thì \(\ln x + \ln y = \ln \left( {xy} \right)\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({3^{\ln x}}{.3^{\ln y}} = {3^{\ln x + \ln y}} = {3^{\ln \left( {xy} \right)}}\)

Đáp án C.

Câu 10 :

Giá trị của biểu thức \(2{\log _5}10 + {\log _{25}}0,25\) là:

  • A
    \(\frac{1}{{{{\log }_{25}}50}}\).
  • B
    \(\frac{1}{{{{\log }_5}50}}\).
  • C
    \({\log _{25}}50\).
  • D
    \({\log _5}50\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Với \(a > 0,a \ne 1,b,c > 0\) thì: \({\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {bc} \right)\), \({\log _{{b^a}}}c = \frac{1}{a}{\log _b}c\), \(\alpha {\log _a}b = {\log _a}{b^\alpha }\) \(\left( {\alpha  \in \mathbb{R}} \right)\)

Lời giải chi tiết :

\(2{\log _5}10 + {\log _{25}}0,25 = {\log _5}{10^2} + \frac{1}{2}{\log _5}0,25 = {\log _5}100 + {\log _5}0,{25^{\frac{1}{2}}} = {\log _5}\left( {100.0,5} \right) = {\log _5}50\)

Đáp án D.

Câu 11 :

Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) với giá trị nào của a dưới đây?

  • A
    \(a = \frac{1}{2}\).
  • B
    \(a = 0,75\).
  • C
    \(a = \frac{3}{2}\).
  • D
    \(a = \ln 2\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) với \(a > 1\).

Lời giải chi tiết :

Vì hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) với \(a > 1\) nên hàm số đồng biến khi \(a = \frac{3}{2}\).

Đáp án C.

Câu 12 :

Hàm số nào dưới đây là không phải hàm số mũ?

  • A
    \(y = {3^x}\).
  • B
    \(y = {\left( {3x} \right)^3}\).
  • C
    \(y = {\pi ^x}\).
  • D
    \(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = {\left( {3x} \right)^3}\) không phải là hàm số mũ.

Đáp án B.

Câu 13 :

Hàm số nào sau đây có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?

  • A
    \(y = \ln x\).
  • B
    \(y = \log \frac{x}{4}\).
  • C
    \(y = {e^{5x}}\).
  • D
    \(y = {\left( {\frac{2}{x}} \right)^5}\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Hàm số \(y = {\log _a}u\left( x \right)\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) xác định khi \(u\left( x \right) > 0\).

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = {e^{5x}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Đáp án C.

Câu 14 :

Hàm số \(y = {\log _{10}}x\) có tập giá trị là:

  • A
    \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
  • B
    \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
  • C
    \(\left( {0; + \infty } \right)\).
  • D
    \(\left( { - 10;10} \right)\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) có tập giá trị là \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) có tập giá trị là \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

Đáp án A.

Câu 15 :

Cho đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\) có đồ thị là hình dưới đây:

Tìm a.

  • A
    \(a = 2\).
  • B
    \(a = \sqrt 2 \).
  • C
    \(a = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
  • D
    \(a = \frac{1}{2}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Thay điểm A(2; 2) vào hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\) để tìm a.

Lời giải chi tiết :

Vì đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\) đi qua điểm A(2; 2) nên ta có:

\({\log _a}2 = 2 \Leftrightarrow {a^2} = 2 \Rightarrow a = \sqrt 2 \) (do \(a > 0,a \ne 1\))

Đáp án B.

Câu 16 :

Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để hàm số \(y = {\left( { - {a^2} + 2a + 4} \right)^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?

  • A
    1.
  • B
    2.
  • C
    3.
  • D
    4.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Cho hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\):

+ Nếu \(a > 1\) thì hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

+ Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = {\left( { - {a^2} + 2a + 4} \right)^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi:

\( - {a^2} + 2a + 4 > 1 \Leftrightarrow  - {a^2} + 2a + 3 > 0 \Leftrightarrow {a^2} - 2a - 3 < 0 \Leftrightarrow \left( {a + 1} \right)\left( {a - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow  - 1 < a < 3\)

Mà a là số nguyên nên \(a \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).

Vậy có 3 giá trị nguyên của a để hàm số \(y = {\left( { - {a^2} + 2a + 4} \right)^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án C.

Câu 17 :

Mẫu số liệu ghép nhóm dưới đây thể hiện tuổi (theo năm) của 120 chiếc ô tô:

Độ dài nhóm  \(\left[ {12;16} \right)\) là:

  • A
    \(18\).
  • B
    \(4\).
  • C
    12.
  • D
    16.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng \(\left[ {a;b} \right)\). Độ dài của nhóm \(\left[ {a;b} \right)\) là \(b - a\).

Lời giải chi tiết :

Độ dài nhóm \(\left[ {12;16} \right)\) là: \(16 - 12 = 4\)

Đáp án B.

Câu 18 :

Chọn đáp án đúng

Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì:

  • A
    \(A \cap B = \emptyset \).
  • B
    \(P\left( {A \cap B} \right) = A\).
  • C
    Cả A và B đều đúng.
  • D
    Cả A và B đều sai.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì \(A \cap B = \emptyset \), suy ra \(P\left( {A \cap B} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết :

Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì \(A \cap B = \emptyset \), suy ra \(P\left( {A \cap B} \right) = 0\).

Đáp án A.

Câu 19 :

Một mẫu số liệu cho ở bảng tần số ghép nhóm dưới đây:

Cỡ mẫu của mẫu số liệu là:

  • A
    \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_m}\).
  • B
    \(n = {n_1}.{n_2}...{n_m}\).
  • C
    \(n = {a_1} + {a_2} + ... + {a_m}\).
  • D
    Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bảng tần số ghép nhóm cho ở bảng dưới:

Cỡ mẫu của mẫu số liệu là: \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_m}\)

Lời giải chi tiết :

Cỡ mẫu của mẫu số liệu là: \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_m}\)

Đáp án A.

Câu 20 :

Cho hai biến cố A và B. Biết rằng: \(P\left( A \right) = 0,2;P\left( B \right) = 0,8\). A và B là hai biến cố độc lập khi:

  • A
    \(P\left( {AB} \right) = 0,2\).
  • B
    \(P\left( {AB} \right) = 0,8\).
  • C
    \(P\left( {AB} \right) = 0,6\).
  • D
    \(P\left( {AB} \right) = 0,16\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì: \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right)\).

Lời giải chi tiết :

A và B là hai biến cố độc lập khi \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,16\)

Đáp án D.

Câu 21 :

Một nhóm gồm 8 học sinh nam và 12 học sinh nữ. Chọn ra ngẫu nhiên 5 học sinh từ nhóm. Xác suất của biến cố: “Có ít nhất 3 học sinh nữ trong 5 học sinh vừa chọn” là:

  • A
    \(\frac{{682}}{{969}}\).
  • B
    \(\frac{{287}}{{969}}\).
  • C
    \(\frac{{40}}{{57}}\).
  • D
    \(\frac{{17}}{{57}}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng sơ đồ cây để tính xác suất.

Lời giải chi tiết :

Ta có sơ đồ hình cây:

Xác suất của biến cố: “Có ít nhất 3 học sinh nữ trong 5 học sinh vừa chọn” là:

\(\frac{{C_{12}^3.C_8^2 + C_{12}^4.C_8^1 + C_{12}^5}}{{C_{20}^5}} = \frac{{682}}{{969}}\)

Đáp án A.

Câu 22 :

Một hộp chứa 20 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 20. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ từ hộp. Xác suất của biến cố: “Tổng các số ghi trên hai thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 37” là:

  • A
    \(\frac{1}{{190}}\).
  • B
    \(\frac{2}{{190}}\).
  • C
    \(\frac{3}{{190}}\).
  • D
    \(\frac{4}{{190}}\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).

Lời giải chi tiết :

Không gian mẫu: “Chọn ra đồng thời 2 thẻ trong 20 thẻ”. Số phần tử của không gian mẫu là: \(C_{20}^2\).

Gọi A là biến cố: “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4”. Biến cố A xảy ra khi 2 thẻ được chọn ghi số 1 và số 2. Xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{1}{{C_{20}^2}} = \frac{1}{{190}}\)

Gọi B là biến cố: “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra lớn hơn 37”. Biến cố B xảy ra khi 2 thẻ được chọn ghi số 18 và số 20 hoặc 20 và 19. Xác suất của biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{2}{{C_{20}^2}} = \frac{2}{{190}}\)

Do A và B là hai biến cố xung khắc nên xác suất của biến cố: “Tổng các số ghi trên hai thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 37” là: \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{1}{{190}} + \frac{2}{{190}} = \frac{3}{{190}}\).

Đáp án C.

Câu 23 :

Nhân ngày hội đọc sách, các học sinh của một trường học mang sách cũ đến tặng thư viện trường và trao đổi với các bạn học sinh khác. Bảng sau thống kê số lượng sách cũ mà các bạn học sinh lớp 11B mang đến trường:

Trung bình mỗi bạn học sinh lớp 11B mang đến trường bao nhiêu cuốn sách?

  • A
    4 cuốn.
  • B
    5 cuốn.
  • C
    6 cuốn.
  • D
    7 cuốn.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bảng tần số ghép nhóm cho ở bảng dưới:

+ Trung điểm \({x_i}\) của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng hai đầu mút) ứng với nhóm i là giá trị đại diện của nhóm đó.

+ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(\overline x \), được tính theo công thức: \(\overline x  = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_m}{x_m}}}{n}\)

Lời giải chi tiết :

Ta có bảng:

Trung bình mỗi bạn học sinh lớp 11B mang đến trường số cuốn sách là:

\(\overline x  = \frac{{2.5 + 4.10 + 6.14 + 8.8 + 10.3 + 12.2}}{{42}} = 6\) (cuốn)

Đáp án C.

Câu 24 :

“Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian, kí hiệu (a, b) là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt … hoặc … với a và b”. Từ (cụm từ) thích hợp để điền vào dấu … để được câu đúng là:

  • A
    vuông góc, trùng.
  • B
    vuông góc, chéo.
  • C
    song song, chéo.
  • D
    song song, trùng.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu \(\left( {a,b} \right)\) hoặc \(\widehat {\left( {a;b} \right)}\).

Lời giải chi tiết :

Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian, kí hiệu (a, b) là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b

Đáp án D.

Câu 25 :

Cho hình chóp S. ABCD có AD//BC. Gọi N là một điểm thuộc cạnh SD (N khác S và D), qua N vẽ đường thẳng song song với AS cắt AD tại M. Chọn đáp án đúng:

  • A
    \(\left( {MN,BC} \right) = \left( {SA,SD} \right)\).
  • B
    \(\left( {MN,BC} \right) = \left( {SD,DA} \right)\).
  • C
    \(\left( {MN,BC} \right) = \left( {SA,AD} \right)\).
  • D
    Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu \(\left( {a,b} \right)\) hoặc \(\widehat {\left( {a;b} \right)}\)

Lời giải chi tiết :

Vì AD//BC, MN//SA nên \(\left( {MN,BC} \right) = \left( {SA,AD} \right)\)

Đáp án C.

Câu 26 :

Cho tứ diện ABCD có \(AB = CD = 2a\). Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của BC, AD, AC. Biết rằng \(MN = a\sqrt 3 \). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

  • A
    \({90^0}\).
  • B
    \({60^0}\).
  • C
    \({30^0}\).
  • D
    \({70^0}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu \(\left( {a,b} \right)\) hoặc \(\widehat {\left( {a;b} \right)}\).

+ Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá \({90^0}\).

Lời giải chi tiết :

Vì IM là đường trung bình của tam giác ABC nên IM//AB và \(IM = \frac{{AB}}{2} = a\)

Vì IN là đường trung bình của tam giác ADC nên IN//CD và \(IN = \frac{{CD}}{2} = a\)

Do đó, \(\left( {AB,CD} \right) = \left( {IM,IN} \right)\)

Áp dụng định lí côsin vào tam giác MNI ta có:

\(M{N^2} = I{M^2} + I{N^2} - 2IM.IN.\cos \widehat {MIN} \Rightarrow 3{a^2} = {a^2} + {a^2} - 2a.a.\cos \widehat {MIN} \Rightarrow \cos \widehat {MIN} = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow \widehat {MIN} = {120^0}\)

Suy ra: \(\left( {AB,CD} \right) = \left( {IM,IN} \right) = {180^0} - \widehat {MIN} = {180^0} - {120^0} = {60^0}\)

Đáp án B.

Câu 27 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, \(SA = SC\). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Góc giữa hai đường thẳng SO và IK bằng:

  • A
    \({60^0}\).
  • B
    \({90^0}\).
  • C
    \({120^0}\).
  • D
    \({70^0}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

+ Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \({90^0}\).

Lời giải chi tiết :

Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC.

Vì \(SA = SC\) nên tam giác SAC cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, \(SO \bot AC\)

Vì I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC nên IK là đường trung bình của tam giác BAC. Do đó, IK//AC.

Vì \(SO \bot AC\), IK//AC nên \(IK \bot SO\). Do đó, góc giữa hai đường thẳng SO và IK bằng \({90^0}\).

Đáp án B.

Câu 28 :

Cho hình chóp S.ABCD có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Tam giác SAC là tam giác gì?

  • A
    Tam giác vuông tại A.
  • B
    Tam giác cân tại A.
  • C
    Tam giác đều.
  • D
    Tam giác tù tại A.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đường thẳng d gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right),AC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC\). Do đó, tam giác SAC vuông tại A.

Đáp án A.

Câu 29 :

Cho hình chóp S. ABCD như hình vẽ dưới đây:

Biết rằng: \(SA \bot AB,SA \bot AD\).

Chọn khẳng định đúng.

  • A
    SA\( \bot \) (SAC).
  • B
    \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).
  • C
    Cả A và B đều đúng.
  • D
    Cả A và B đều sai.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\)

Lời giải chi tiết :

Vì \(SA \bot AB,SA \bot AD\), AB và AD cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).

SA không vuông góc với mặt phẳng (SAC).

Đáp án B.

Câu 30 :

Cho tứ diện OABC sao cho \(OA \bot \left( {OBC} \right)\). Gọi D là trung điểm của BC. Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh AD (M khác A, D). Qua M kẻ đường thẳng song song với AO cắt OD tại N. Chọn đáp án đúng.

  • A
    \(MN \bot \left( {BOC} \right)\).
  • B
    \(MN \bot \left( {OAD} \right)\).
  • C
    Cả A và B đều đúng.
  • D
    Cả A và B đều sai.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì các đường thẳng song song với a cũng vuông góc với (P).

Lời giải chi tiết :

Vì \(OA \bot \left( {OBC} \right),\)MN//OA nên \(MN \bot \left( {OBC} \right)\)

MN không vuông góc với mặt phẳng (OAD).

Đáp án A.

Câu 31 :

Cho hình chóp S. ABCD. Gọi A là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD). Khi đó, hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD) là:

  • A
    AC.
  • B
    AD.
  • C
    AB.
  • D
    AS.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì C thuộc mặt phẳng (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của điểm C trên mặt phẳng (ABCD) là chính nó.

Vì A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Do đó, hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD) là AC.

Đáp án A.

Câu 32 :

Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC. Qua S kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cắt mặt phẳng đó tại H. Khi đó, góc giữa SH và MP bằng bao nhiêu độ?

  • A
    \({60^0}\).
  • B
    \({90^0}\).
  • C
    \({120^0}\).
  • D
    \({70^0}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì đường thẳng d cũng vuông góc với các mặt phẳng song song với (P).

+ Đường thẳng d gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB. Do đó, MN//AB.

Vì P, N lần lượt là trung điểm của SC, SB nên PN là đường trung bình của tam giác SBC. Do đó, PN//CB.

Vì MN//AB, PN//CB nên (MNP)// (ABC).

Mặt khác, \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SH \bot \left( {MNP} \right)\). Mà \(MP \subset \left( {MNP} \right) \Rightarrow SH \bot MP\)

Do đó, góc giữa hai đường thẳng MP và SH bằng \({90^0}\).

Đáp án B.

Câu 33 :

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (COB) là điểm nào?

  • A
    Q (Q là trung điểm của OB).
  • B
    B.
  • C
    O.
  • D
    H (H là trung điểm của OC).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

+ Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì \(OA \bot OB,OA \bot OC\) và OB và OC cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (OBC) nên \(OA \bot \left( {OBC} \right)\) nên O là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (COB).

Đáp án C.

Câu 34 :

Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M là trung điểm của CD. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

  • A
    \({30^0}\).
  • B
    \({60^0}\).
  • C
    \({90^0}\).
  • D
    \({45^0}\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì \(AC = AD = CD\) nên tam giác ACD là tam giác đều. Do đó, AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, \(AM \bot CD\)

Vì \(BC = BD = CD\) nên tam giác BCD là tam giác đều. Do đó, BM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, \(BM \bot CD\)

Vì \(AM \bot CD\), \(BM \bot CD\), AM, BM cắt nhau tại M và nằm trong mặt phẳng ABM.

Do đó, \(CD \bot \left( {AMB} \right)\). Mà \(AB \subset \left( {ABM} \right) \Rightarrow AB \bot CD\)

Do đó, góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng \({90^0}\).

Đáp án C.

Câu 35 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).  Kẻ BM vuông góc với SC (M thuộc SC). Tam giác SMD là tam giác:

  • A
    Vuông tại M.
  • B
    Cân tại M.
  • C
    Tù tại M.
  • D
    Tam giác nhọn.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD là hình vuông nên \(AC \bot BD\)

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right),BD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\)

Ta có: \(AC \bot BD\), \(SA \bot BD\), SA, AC cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAC) nên \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\)

Lại có: \(BM \bot SC\), BM và BD cắt nhau tại B và nằm trong mặt phẳng (BMD) nên \(SC \bot \left( {BMD} \right)\).

Mà \(MD \subset \left( {BMD} \right) \Rightarrow MD \bot SC\) hay \(MD \bot SM\). Do đó, tam giác SMD vuông tại M.

Đáp án A.

II. Tự luận
Câu 1 :

Cho hàm số: \(y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right)} \).

a) Với \(m = 0\), hãy tìm tập xác định của hàm số trên.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Phương pháp giải :

Hàm số \(y = \log u\left( x \right)\) xác định khi \(u\left( x \right) > 0\).

Hàm số \(y = \sqrt {u\left( x \right)} \) xác định khi \(u\left( x \right) \ge 0\).

Lời giải chi tiết :

a) Với \(m = 0\) ta có: \(y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {{x^2} - 2x + 5} \right)} \).

Hàm số \(y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {{x^2} - 2x + 5} \right)} \) xác định khi

\(\log \left( {{x^2} - 2x + 5} \right) > 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 5 > 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 3 > 0\) (luôn đúng với mọi số thực x)

Vậy với \(m = 0\) thì tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\)

b) Hàm số \(y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right)} \)

Điều kiện: \(\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5 \ge 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4 \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Đặt \(f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4\)

Trường hợp 1: Với \(m =  - 1\) ta có: \(f\left( x \right) = 4 \ge 0\). Do đó, f(x) xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, \(m =  - 1\) thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(m \ne  - 1\).

Hàm số \(f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4 \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 > 0\\\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 4\left( {m + 1} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - 1\\\left( {m + 1} \right)\left( {m - 3} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 < m \le 3\)

Vậy với \(m \in \left[ { - 1;3} \right]\) thì hàm số \(y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right)} \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Câu 2 :

Cho hình vuông ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại H, lấy điểm S. Chứng minh rằng:

a) \(AC \bot \left( {SHK} \right)\).

b) \(CK \bot \left( {SDH} \right)\).
Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

a) Vì H, K lần lượt là trung điểm của AB và AD nên HK là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó, \(HK//BD\). Mà \(AC \bot BD\) (do ABCD là hình vuông) nên \(AC \bot HK\)

Vì \(AC \bot HK,SH \bot AC\left( {do\;AC \subset \left( {ABCD} \right)} \right) \Rightarrow AC \bot \left( {SHK} \right)\)

b) Gọi I là giao điểm của CK và DH.

Tam giác AHD và tam giác DKC có: \(AH = DK,\widehat {HAD} = \widehat {KDC},AD = DC\)

Do đó, \(\Delta AHD = \Delta DKC\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {HDA} = \widehat {KCD}\)

Ta có: \(\widehat {DKC} + \widehat {KCD} = {90^0} \Rightarrow \widehat {DKC} + \widehat {HDA} = {90^0}\)

Ta có: \(\widehat {DIK} = {180^0} - \left( {\widehat {DKC} + \widehat {HDA}} \right) = {90^0} \Rightarrow DH \bot CK\)

Mà \(SH \bot \left( {ABCD} \right),CK \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot CK\)

Ta có: \(DH \bot CK,SH \bot CK\), SH và DH nằm trong mặt phẳng (SHD) và cắt nhau tại H nên \(CK \bot \left( {SDH} \right)\).

Câu 3 :

Ông B vay vốn ngân hàng với số tiền 200 000 000 đồng. Ông dự định sau đúng 5 năm thì trả hết nợ theo hình thức: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau. Hỏi theo cách đó, số tiền mà ông sẽ phải trả cho ngân hàng mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết lãi suất hàng tháng là 1,2% và không thay đổi trong thời gian ông hoàn nợ (làm tròn đến hàng đơn vị).
Phương pháp giải :

+ \({a^n} = a.a...a\left( {a \in \mathbb{R},n \in \mathbb{N}*} \right)\) (có n thừa số a)

+ Giả sử \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\), khi đó, \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)

Lời giải chi tiết :

Gọi m, r, \({N_n}\), a lần lượt là số tiền vay ngân hàng, lãi suất hàng tháng, tổng số tiền vay còn lại sau n tháng, số tiền trả đều đặn mỗi tháng.

Sau khi hết tháng thứ nhất \(\left( {n = 1} \right)\) thì số tiền nợ của bác còn: \({N_1} = m\left( {r + 1} \right) - a\) (đồng)

Sau khi hết tháng thứ hai \(\left( {n = 2} \right)\) thì số tiền nợ của bác còn:

\({N_2} = \left[ {m\left( {r + 1} \right) - a} \right]\left( {r + 1} \right) - a = m{\left( {1 + r} \right)^2} - a\left( {1 + r} \right) - a = m{\left( {r + 1} \right)^2} - \frac{a}{r}\left[ {{{\left( {r + 1} \right)}^2} - 1} \right]\) (đồng)

Sau khi hết tháng thứ ba \(\left( {n = 3} \right)\) thì số tiền nợ của bác còn:

\({N_3} = \left[ {m{{\left( {r + 1} \right)}^2} - \frac{a}{r}\left[ {{{\left( {r + 1} \right)}^2} - 1} \right]} \right]\left( {r + 1} \right) - a = m{\left( {r + 1} \right)^3} - \frac{a}{r}\left[ {{{\left( {r + 1} \right)}^3} - 1} \right]\) (đồng)

…

Sau khi hết tháng thứ n, số tiền bác còn nợ là: \({N_n} = m{\left( {r + 1} \right)^n} - \frac{a}{r}\left[ {{{\left( {r + 1} \right)}^n} - 1} \right]\)

Bác B trả hết nợ khi \({N_n} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{m{{\left( {r + 1} \right)}^n}r}}{{{{\left( {r + 1} \right)}^n} - 1}} = \frac{{{{2.10}^8}.{{\left( {1 + 0,012} \right)}^{60}}.0,012}}{{{{\left( {1 + 0,012} \right)}^{60}} - 1}} \approx 4\;695\;229\;\)(đồng)

Vậy mỗi tháng bác phải trả ngân hàng khoảng 4 695 229 đồng.

Bài liên quan
close