Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11 - Cánh diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 4

Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Tải về

Tải về đề thi và đáp án Tải về đề thi Tải về đáp án
Làm đề thi

Phần trắc nghiệm (6 điểm) Câu 1: Nghiệm của phương trình

Đề bài

I. Trắc nghiệm
Câu 1 :

Nghiệm của phương trình \(\tan 2x = \tan \frac{\pi }{4}\) là:

  • A
    \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
  • B
    \(x = \frac{\pi }{8} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).    
  • C
    \(x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).
  • D
    \(x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).
Câu 2 :

\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) là nghiệm của phương trình:

  • A
    \(\sin x = 0\).
  • B
    \(\sin x = 1\).    
  • C
    \(\sin 2x = 0\).
  • D
    Cả A, B, C đều sai.
Câu 3 :

Tập giá trị của hàm số \(y = \cos x\) là:

  • A
    \(D = \left( { - 1;1} \right)\).
  • B
    \(D = \left( { - 2;2} \right)\).    
  • C
    \(D = \left[ { - 2;2} \right]\).
  • D
    \(D = \left[ { - 1;1} \right]\).
Câu 4 :

Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

  • A
    \(y = \cos x\).
  • B
    \(y = \tan x\).    
  • C
    \(y = {\sin ^2}x\).
  • D
    \(y = {\cos ^2}x\).
Câu 5 :

Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

  • A
    \(y = \cot x\).
  • B
    \(y = \tan x\).    
  • C
    \(y = \sin x\).
  • D
    \(y = \cos x\).
Câu 6 :

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d. Số hạng tổng quát \({u_n}\) được xác định theo công thức:

  • A
    \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
  • B
    \({u_n} = {u_1} + nd\).
  • C
    \({u_n} = {u_1}.{d^n}\).
  • D
    \({u_n} = {u_1}.{d^{n - 1}}\).
Câu 7 :

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q. Số hạng tổng quát \({u_n}\) được xác định theo công thức:

  • A
    \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)q\) với \(n \ge 2\).
  • B
    \({u_n} = {u_1} + nq\) với \(n \ge 2\).
  • C
    \({u_n} = {u_1}.{q^n}\) với \(n \ge 2\).
  • D
    \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\) với \(n \ge 2\).
Câu 8 :

Dãy số nào dưới đây gồm các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10?

  • A
    1; 3; 5; 7; 9.
  • B
    2; 4; 6; 8.    
  • C
    2; 4; 6; 8; 10.
  • D
    0; 2; 4; 6; 8.
Câu 9 :

Chọn đáp án đúng:

  • A
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} = k\) với k là số nguyên dương.
  • B
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  + \infty \) với k là số chẵn.  
  • C
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  + \infty \) với k là số nguyên dương.
  • D
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  + \infty \) với k là số lẻ.
Câu 10 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm \({x_0}\). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu:

  • A
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
  • B
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right)\).    
  • C
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) > f\left( {{x_0}} \right)\).
  • D
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) < f\left( {{x_0}} \right)\).
Câu 11 :

Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 2\). Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3f\left( x \right)\).

  • A
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3f\left( x \right) = 5\).
  • B
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3f\left( x \right) = 6\).    
  • C
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3f\left( x \right) = 2\).
  • D
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3f\left( x \right) = 3\).
Câu 12 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 6\), dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) có  \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = 2\). Chọn khẳng định đúng:

  • A
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} =  - \infty \).
  • B
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} =  + \infty \).    
  • C
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 2\).
  • D
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 3\).
Câu 13 :

Trong các câu sau, câu nào sai?

  • A
    Hai đường thẳng song song thì không có điểm chung.
  • B
    Hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung thì song song.    
  • C
    Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
  • D
    Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Câu 14 :

Cho hình chóp S. ABCD với ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi E là trung điểm của SA. Đường thẳng OE nằm trong mặt phẳng nào?

  • A
    (SAC).
  • B
    (SBD).    
  • C
    (SDC).
  • D
    (SAB).
Câu 15 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

  • A
    Hai đường thẳng chéo nhau khi không có điểm chung.
  • B
    Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng thì hai đường thẳng đó chéo nhau.    
  • C
    Hai đường thẳng chéo nhau thì hai đường thẳng đó thuộc hai mặt phẳng khác nhau.
  • D
    Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng ở trên cùng hai mặt phẳng.
Câu 16 :

Chọn câu đúng:

  • A
    Nêu đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).
  • B
    Nếu trong mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng phân biệt song song mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).    
  • C
    Nếu trong mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).
  • D
    Cả A, B, C đều sai.
Câu 17 :

Hình tứ diện đều có bốn mặt là hình gì?

  • A
    Tam giác đều.
  • B
    Tam giác cân.    
  • C
    Tam giác vuông.
  • D
    Tam giác vuông cân.
Câu 18 :

Chọn câu đúng:

  • A
    Trong không gian, phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng và làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
  • B
    Trong không gian, phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.    
  • C
    Trong không gian, phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
  • D
    Trong không gian, phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
Câu 19 :

Cho hai góc nhọn a và b. Biết \(\cos a = \frac{1}{3};\cos b = \frac{1}{5}\). Giá trị \(\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right)\) bằng:

  • A
    \(\frac{{ - 191}}{{225}}\).
  • B
    \(\frac{{191}}{{225}}\).    
  • C
    \(\frac{{ - 193}}{{225}}\).
  • D
    \(\frac{{193}}{{225}}\).
Câu 20 :

Nghiệm của phương trình \(\sin 2x - \cos x = 0\) là:

  • A
    \(\left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • B
    \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).    
  • C
    \(\left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • D
    \(\left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Câu 21 :

Cho \(\cos \alpha  = \frac{1}{4}\) và \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\) thì \(\sin 2\alpha \) bằng:

  • A
    \(\frac{{ - \sqrt {15} }}{{16}}\).
  • B
    \(\frac{{\sqrt {15} }}{{16}}\).    
  • C
    \(\frac{{\sqrt {15} }}{8}\).
  • D
    \( - \frac{{\sqrt {15} }}{8}\).
Câu 22 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{4}\\{u_n} = \frac{1}{{2 + {u_{n - 1}}}},\forall n \ge 2\end{array} \right.\). Chọn đáp án đúng

  • A
    \({u_2} = \frac{9}{4}\).
  • B
    \({u_2} = \frac{8}{9}\).    
  • C
    \({u_3} = \frac{9}{{22}}\).
  • D
    \({u_3} = \frac{{22}}{9}\).
Câu 23 :

Một thửa ruộng bậc thang có thửa thấp nhất (bậc thấp nhất) nằm ở độ cao 900m so với mực nước biển và độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới (hai thửa liên tiếp) trung bình là 1,5m. Hỏi bậc thứ 19 của thửa ruộng đó có độ cao là bao nhiêu so với mực nước biển?  

  • A
    930m.
  • B
    928,5m.    
  • C
    925,5m.
  • D
    927m.
Câu 24 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 6 - 4n - 4{n^2}\). Chọn khẳng định đúng:

  • A
    Dãy số trên bị chặn dưới.
  • B
    Dãy số trên bị chặn trên.    
  • C
    Dãy số trên không bị chặn.
  • D
    Dãy số trên bị chặn.
Câu 25 :

Với giá trị nào của m thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{mx + 5}}{{x + 1}} = 6\)?

  • A
    \(m = 7\).
  • B
    \(m =  - 7\).    
  • C
    \(m = 1\).
  • D
    \(m =  - 1\).
Câu 26 :

Chọn đáp án đúng:

  • A
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n - 2}} = \frac{1}{2}\).
  • B
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n - 2}} = 1\).    
  • C
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n - 2}} =  - \frac{1}{2}\).
  • D
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n - 2}} =  - 1\).
Câu 27 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 5}}{{{x^2} + 5x + 4}}\). Hàm số f(x) liên tục trên khoảng nào?

  • A
    \(\left( { - \infty ;4} \right)\).
  • B
    \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
  • C
    \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
  • D
    \(\left( { - 4; + \infty } \right)\).
Câu 28 :

Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Đường thẳng MN song song với mặt phẳng nào?

  • A
    (SBC).
  • B
    (SAC).    
  • C
    (ABCD).
  • D
    (SAD).
Câu 29 :

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và AC. Gọi G là một điểm nằm trong tam giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là đường thẳng:  

  • A
    Qua M song song với AB.
  • B
    Qua G song song với CD.    
  • C
    Qua G song song với AB.
  • D
    Qua M song song với DC.
Câu 30 :

Cho hình chóp S. ABC. Lấy E, F, G lần lượt thuộc các cạnh SA, BC, AC. Điểm nào dưới đây thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (EFG) và (SAB)?

  • A
    Giao điểm của EF và AC.
  • B
    Giao điểm của EF và BC.    
  • C
    Giao điểm của EG và AB.
  • D
    Giao điểm của GF và AB.
II. Tự luận
Câu 1 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {{x^2} + 3}  - 2}}{{x - 1}}\;khi\;x \ne 1\\ - 2m + 5\;\;\;\;\;\;khi\;x = 1\end{array} \right.\). Tìm m để hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\).
Câu 2 :

Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD//BC, \(AD = 2BC\). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi G là trọng tâm của tam giác SCD. Chứng minh rằng OG//(SBC).
Câu 3 :

Giải phương trình: \({2^{2023}}\left( {{{\sin }^{2024}}x + {{\cos }^{2024}}x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = \frac{{\cos 2x}}{{1 - \tan x}}\)
Câu 4 :

Đầu năm 2023, anh M mua một chiếc ô tô 4 chỗ giá 800 triệu đồng để chở khách. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của ô tô giảm đi 0,5% (so với tháng trước đó). Biết rằng mỗi tháng anh làm ra được 16 triệu đồng (số tiền làm ra mỗi tháng không đổi). Hỏi sau 3 năm, tổng số tiền (bao gồm giá tiền ô tô và tổng số tiền anh M làm ra) anh M có được là bao nhiêu?

Lời giải và đáp án

I. Trắc nghiệm
Câu 1 :

Nghiệm của phương trình \(\tan 2x = \tan \frac{\pi }{4}\) là:

  • A
    \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
  • B
    \(x = \frac{\pi }{8} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).    
  • C
    \(x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).
  • D
    \(x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức giải phương trình lượng giác: Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha  \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thỏa mãn \(\tan \alpha  = m\). Khi đó, \(\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\tan 2x = \tan \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Câu 2 :

\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) là nghiệm của phương trình:

  • A
    \(\sin x = 0\).
  • B
    \(\sin x = 1\).    
  • C
    \(\sin 2x = 0\).
  • D
    Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về nghiệm phương trình lượng giác: Phương trình \(\sin x = 1\) có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải chi tiết :

Phương trình \(\sin x = 1\) có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Câu 3 :

Tập giá trị của hàm số \(y = \cos x\) là:

  • A
    \(D = \left( { - 1;1} \right)\).
  • B
    \(D = \left( { - 2;2} \right)\).    
  • C
    \(D = \left[ { - 2;2} \right]\).
  • D
    \(D = \left[ { - 1;1} \right]\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về tập giá trị của hàm số \(y = \cos x\): Hàm số \(y = \cos x\) có tập giá trị là: \(D = \left[ { - 1;1} \right]\)

Lời giải chi tiết :

Tập giá trị của hàm số \(y = \cos x\) là: \(D = \left[ { - 1;1} \right]\)

Câu 4 :

Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

  • A
    \(y = \cos x\).
  • B
    \(y = \tan x\).    
  • C
    \(y = {\sin ^2}x\).
  • D
    \(y = {\cos ^2}x\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về hàm số lẻ: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi \(x \in D\) ta có \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết :

Vì \(\tan \left( { - x} \right) =  - \tan x\) nên hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ.

Câu 5 :

Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

  • A
    \(y = \cot x\).
  • B
    \(y = \tan x\).    
  • C
    \(y = \sin x\).
  • D
    \(y = \cos x\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử kiến thức về đồ thị hàm số \(y = \sin x\).

Lời giải chi tiết :

Hình trên là đồ thị của hàm số \(y = \sin x\)

Câu 6 :

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d. Số hạng tổng quát \({u_n}\) được xác định theo công thức:

  • A
    \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
  • B
    \({u_n} = {u_1} + nd\).
  • C
    \({u_n} = {u_1}.{d^n}\).
  • D
    \({u_n} = {u_1}.{d^{n - 1}}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về số hạng tổng quát của cấp số cộng: Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d. Số hạng tổng quát \({u_n}\) được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

Lời giải chi tiết :

Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d. Số hạng tổng quát \({u_n}\) được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

Câu 7 :

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q. Số hạng tổng quát \({u_n}\) được xác định theo công thức:

  • A
    \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)q\) với \(n \ge 2\).
  • B
    \({u_n} = {u_1} + nq\) với \(n \ge 2\).
  • C
    \({u_n} = {u_1}.{q^n}\) với \(n \ge 2\).
  • D
    \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\) với \(n \ge 2\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về số hạng tổng quát của cấp số nhân: Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q. Số hạng tổng quát \({u_n}\) được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\) với \(n \ge 2\).

Lời giải chi tiết :

Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q. Số hạng tổng quát \({u_n}\) được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\) với \(n \ge 2\).

Câu 8 :

Dãy số nào dưới đây gồm các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10?

  • A
    1; 3; 5; 7; 9.
  • B
    2; 4; 6; 8.    
  • C
    2; 4; 6; 8; 10.
  • D
    0; 2; 4; 6; 8.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về cách cho một dãy số.

Lời giải chi tiết :

Dãy số gồm các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10 là: 0; 2; 4; 6; 8.

Câu 9 :

Chọn đáp án đúng:

  • A
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} = k\) với k là số nguyên dương.
  • B
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  + \infty \) với k là số chẵn.  
  • C
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  + \infty \) với k là số nguyên dương.
  • D
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  + \infty \) với k là số lẻ.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc về giới hạn hàm số: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  + \infty \) với k là số chẵn.

Lời giải chi tiết :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  + \infty \) với k là số chẵn.

Câu 10 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm \({x_0}\). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu:

  • A
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
  • B
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right)\).    
  • C
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) > f\left( {{x_0}} \right)\).
  • D
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) < f\left( {{x_0}} \right)\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức hàm số liên tục: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm \({x_0}\). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm \({x_0}\). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Câu 11 :

Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 2\). Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3f\left( x \right)\).

  • A
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3f\left( x \right) = 5\).
  • B
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3f\left( x \right) = 6\).    
  • C
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3f\left( x \right) = 2\).
  • D
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3f\left( x \right) = 3\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về giới hạn của hàm số: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M\)

Lời giải chi tiết :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 3.2 = 6\)

Câu 12 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 6\), dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) có  \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = 2\). Chọn khẳng định đúng:

  • A
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} =  - \infty \).
  • B
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} =  + \infty \).    
  • C
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 2\).
  • D
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 3\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc tính giới hạn của dãy số: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = b \ne 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\).

Lời giải chi tiết :

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{6}{2} = 3\)

Câu 13 :

Trong các câu sau, câu nào sai?

  • A
    Hai đường thẳng song song thì không có điểm chung.
  • B
    Hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung thì song song.    
  • C
    Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
  • D
    Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.

Lời giải chi tiết :

Hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song hoặc chéo nhau nên đáp án D sai.

Câu 14 :

Cho hình chóp S. ABCD với ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi E là trung điểm của SA. Đường thẳng OE nằm trong mặt phẳng nào?

  • A
    (SAC).
  • B
    (SBD).    
  • C
    (SDC).
  • D
    (SAB).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức đường thẳng nằm trong mặt phẳng: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Do \(O \in AC \subset \left( {SAC} \right),E \in SA \subset \left( {SAC} \right)\) nên đường thẳng OE nằm trong mặt phẳng (SAC)

Câu 15 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

  • A
    Hai đường thẳng chéo nhau khi không có điểm chung.
  • B
    Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng thì hai đường thẳng đó chéo nhau.    
  • C
    Hai đường thẳng chéo nhau thì hai đường thẳng đó thuộc hai mặt phẳng khác nhau.
  • D
    Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng ở trên cùng hai mặt phẳng.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về vị trí hai đường thẳng trong không gian.

Lời giải chi tiết :

Hai đường thẳng chéo nhau thì hai đường thẳng đó thuộc hai mặt phẳng khác nhau

Câu 16 :

Chọn câu đúng:

  • A
    Nêu đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).
  • B
    Nếu trong mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng phân biệt song song mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).    
  • C
    Nếu trong mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).
  • D
    Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức hai mặt phẳng song song: Nếu trong mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).

Lời giải chi tiết :

Nếu trong mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).

Câu 17 :

Hình tứ diện đều có bốn mặt là hình gì?

  • A
    Tam giác đều.
  • B
    Tam giác cân.    
  • C
    Tam giác vuông.
  • D
    Tam giác vuông cân.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về hình tứ diện đều: Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều.

Lời giải chi tiết :

Hình tứ diện đều có bốn mặt là các tam giác đều.

Câu 18 :

Chọn câu đúng:

  • A
    Trong không gian, phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng và làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
  • B
    Trong không gian, phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.    
  • C
    Trong không gian, phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
  • D
    Trong không gian, phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về phép chiếu song song: Trong không gian, phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

Lời giải chi tiết :

Trong không gian, phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

Câu 19 :

Cho hai góc nhọn a và b. Biết \(\cos a = \frac{1}{3};\cos b = \frac{1}{5}\). Giá trị \(\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right)\) bằng:

  • A
    \(\frac{{ - 191}}{{225}}\).
  • B
    \(\frac{{191}}{{225}}\).    
  • C
    \(\frac{{ - 193}}{{225}}\).
  • D
    \(\frac{{193}}{{225}}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức: \(\cos a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\).

Lời giải chi tiết :

\(\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b} \right) = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}a - 1 + 2{{\cos }^2}b - 1} \right) = {\cos ^2}a + {\cos ^2}b - 1\)

\( = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} - 1 = \frac{{ - 191}}{{225}}\)

Câu 20 :

Nghiệm của phương trình \(\sin 2x - \cos x = 0\) là:

  • A
    \(\left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • B
    \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).    
  • C
    \(\left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • D
    \(\left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phương trình \(\sin x = \sin \alpha \)có nghiệm: \(x = \alpha  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = \pi  - \alpha  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Lời giải chi tiết :

\(\sin 2x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \cos x \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\2x = \pi  - \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Câu 21 :

Cho \(\cos \alpha  = \frac{1}{4}\) và \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\) thì \(\sin 2\alpha \) bằng:

  • A
    \(\frac{{ - \sqrt {15} }}{{16}}\).
  • B
    \(\frac{{\sqrt {15} }}{{16}}\).    
  • C
    \(\frac{{\sqrt {15} }}{8}\).
  • D
    \( - \frac{{\sqrt {15} }}{8}\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến công thức: \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1,\sin 2a = 2\sin a\cos a\)

Lời giải chi tiết :

Vì \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\) nên \(\sin \alpha  > 0\). Ta có: \(\sin \alpha  = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\)

Do đó, \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha  = 2.\frac{1}{4}.\frac{{\sqrt {15} }}{4} = \frac{{\sqrt {15} }}{8}\)

Câu 22 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{4}\\{u_n} = \frac{1}{{2 + {u_{n - 1}}}},\forall n \ge 2\end{array} \right.\). Chọn đáp án đúng

  • A
    \({u_2} = \frac{9}{4}\).
  • B
    \({u_2} = \frac{8}{9}\).    
  • C
    \({u_3} = \frac{9}{{22}}\).
  • D
    \({u_3} = \frac{{22}}{9}\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về dãy số cho bởi công thức truy hồi.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({u_2} = \frac{1}{{2 + {u_1}}} = \frac{1}{{2 + \frac{1}{4}}} = \frac{4}{9},{u_3} = \frac{1}{{2 + {u_2}}} = \frac{1}{{2 + \frac{4}{9}}} = \frac{9}{{22}}\)

Câu 23 :

Một thửa ruộng bậc thang có thửa thấp nhất (bậc thấp nhất) nằm ở độ cao 900m so với mực nước biển và độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới (hai thửa liên tiếp) trung bình là 1,5m. Hỏi bậc thứ 19 của thửa ruộng đó có độ cao là bao nhiêu so với mực nước biển?  

  • A
    930m.
  • B
    928,5m.    
  • C
    925,5m.
  • D
    927m.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

Lời giải chi tiết :

Gọi \({u_n}\) là chiều cao so với mực nước biển của thửa ruộng bậc thang ở bậc thứ n.

Khi đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với \({u_1} = 900m\) và \(d = 1,5m\)

Ta có: \({u_{19}} = {u_1} + 18d = 900 + 18.1,5 = 927\)

Vậy bậc thứ 19 của thửa ruộng có độ cao là 927m so với mực nước biển.

Câu 24 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 6 - 4n - 4{n^2}\). Chọn khẳng định đúng:

  • A
    Dãy số trên bị chặn dưới.
  • B
    Dãy số trên bị chặn trên.    
  • C
    Dãy số trên không bị chặn.
  • D
    Dãy số trên bị chặn.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về dãy số bị chặn:

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho \({u_n} \ge m\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({u_n} = 6 - 4n - 4{n^2} = 7 - \left( {1 + 4n + 4{n^2}} \right) = 7 - {\left( {2n + 1} \right)^2} \le 7\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Do đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên, không bị chặn dưới.

Câu 25 :

Với giá trị nào của m thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{mx + 5}}{{x + 1}} = 6\)?

  • A
    \(m = 7\).
  • B
    \(m =  - 7\).    
  • C
    \(m = 1\).
  • D
    \(m =  - 1\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức giới hạn hàm số: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^n} = x_0^n\) với \(n \in \mathbb{N}\)

Lời giải chi tiết :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{mx + 5}}{{x + 1}} = \frac{{m + 5}}{{1 + 1}} = \frac{{m + 5}}{2}\)

Do đó, \(\frac{{m + 5}}{2} = 6 \Leftrightarrow m + 5 = 12 \Leftrightarrow m = 7\)

Câu 26 :

Chọn đáp án đúng:

  • A
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n - 2}} = \frac{1}{2}\).
  • B
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n - 2}} = 1\).    
  • C
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n - 2}} =  - \frac{1}{2}\).
  • D
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n - 2}} =  - 1\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc về giới hạn của dãy số: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = b \ne 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\).

Lời giải chi tiết :

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {\frac{{{n^2}}}{{{n^2}}} + \frac{2}{n}} }}{{\frac{n}{n} - \frac{2}{n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}} }}{{1 - \frac{2}{n}}} = 1\)

Câu 27 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 5}}{{{x^2} + 5x + 4}}\). Hàm số f(x) liên tục trên khoảng nào?

  • A
    \(\left( { - \infty ;4} \right)\).
  • B
    \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
  • C
    \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
  • D
    \(\left( { - 4; + \infty } \right)\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về tính liên tục của hàm số sơ cấp cơ bản: Hàm phân thức hữu tỉ (thương là hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

Lời giải chi tiết :

Hàm số f(x) xác định khi: \({x^2} + 5x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 4\\x \ne  - 1\end{array} \right.\)

Do đó, hàm số f(x) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 4} \right),\left( { - 4; - 1} \right),\left( { - 1; + \infty } \right)\)

Câu 28 :

Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Đường thẳng MN song song với mặt phẳng nào?

  • A
    (SBC).
  • B
    (SAC).    
  • C
    (ABCD).
  • D
    (SAD).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì a song song với (P).

Lời giải chi tiết :

Vì \(MN \subset \left( {SAC} \right)\) nên MN không song song với (SAC)

Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC nên MN là đường trung bình của tam giác SAC. Do đó, MN//AC. Mà \(AC \subset \left( {ABCD} \right)\) nên MN// (ABCD).

Câu 29 :

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và AC. Gọi G là một điểm nằm trong tam giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là đường thẳng:  

  • A
    Qua M song song với AB.
  • B
    Qua G song song với CD.    
  • C
    Qua G song song với AB.
  • D
    Qua M song song với DC.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về giao tuyến của hai mặt phẳng: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AD và AC nên MN là đường trung bình của tam giác CAD.

Do đó, MN//CD. Mà \(MN \subset \left( {MNG} \right),CD \subset \left( {BCD} \right)\), G là điểm chung của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) nên giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là đường thẳng qua G song song với CD.

Câu 30 :

Cho hình chóp S. ABC. Lấy E, F, G lần lượt thuộc các cạnh SA, BC, AC. Điểm nào dưới đây thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (EFG) và (SAB)?

  • A
    Giao điểm của EF và AC.
  • B
    Giao điểm của EF và BC.    
  • C
    Giao điểm của EG và AB.
  • D
    Giao điểm của GF và AB.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về giao tuyến của hai mặt phẳng: Đường thẳng d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó và kí hiệu là \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\).

Lời giải chi tiết :

Vì hai đường thẳng GF và AB cùng nằm trong mặt phẳng (ABC) nên giao điểm GF và AB thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (EFG) và (SAB).

II. Tự luận
Câu 1 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {{x^2} + 3}  - 2}}{{x - 1}}\;khi\;x \ne 1\\ - 2m + 5\;\;\;\;\;\;khi\;x = 1\end{array} \right.\). Tìm m để hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\).
Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về hàm số liên tục: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(f\left( 1 \right) =  - 2m + 5\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {{x^2} + 3}  - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 3}  - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3}  + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3}  + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3}  + 2} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 3}  + 2}} = \frac{{1 + 1}}{{\sqrt {{1^2} + 3}  + 2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Để hàm số f(x) liên tục tại \({x_0} = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow  - 2m + 5 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow  - 4m + 10 = 1 \Leftrightarrow  - 4m =  - 9 \Leftrightarrow m = \frac{9}{4}\)

Câu 2 :

Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD//BC, \(AD = 2BC\). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi G là trọng tâm của tam giác SCD. Chứng minh rằng OG//(SBC).
Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì a song song với P.

Lời giải chi tiết :

Gọi E là giao điểm của AB và CD.

Vì AD//BC nên $\Delta EBC\backsim \Delta EAD\Rightarrow \frac{EB}{EA}=\frac{EC}{ED}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}\Rightarrow EB=\frac{1}{2}EA,EC=\frac{1}{2}ED$

Do đó, B là trung điểm của AE, C là trung điểm của DE.

Suy ra, BD, AC là hai đường trung tuyến của tam giác ADE. Mà O là giao điểm của AC và BD.

Do đó, O là trọng tâm của tam giác ADE. Do đó, \(\frac{{DO}}{{DB}} = \frac{2}{3}\)

Gọi I là trung điểm của SC. Vì G là trọng tâm của tam giác SCD nên \(\frac{{DG}}{{DI}} = \frac{2}{3}\)

Tam giác DIB có: \(\frac{{DG}}{{DI}} = \frac{{DO}}{{DB}} = \frac{2}{3}\) nên OG//IB (định lý Thalès đảo). Mà \(IB \subset \left( {SBC} \right)\) nên OG//(SBC).

Câu 3 :

Giải phương trình: \({2^{2023}}\left( {{{\sin }^{2024}}x + {{\cos }^{2024}}x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = \frac{{\cos 2x}}{{1 - \tan x}}\)
Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức giải phương trình lượng giác: Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha  \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thỏa mãn \(\tan \alpha  = m\). Khi đó, \(\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: \(\cos x \ne 0,\tan x \ne 1\)

Ta có: \(\frac{{\cos 2x}}{{1 - \tan x}} = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{1 - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}} = \cos x\left( {\cos x + \sin x} \right)\)

\({2^{2023}}\left( {{{\sin }^{2024}}x + {{\cos }^{2024}}x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = \frac{{\cos 2x}}{{1 - \tan x}}\)

\( \Leftrightarrow {2^{2023}}\left( {{{\sin }^{2024}}x + {{\cos }^{2024}}x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = \cos x\left( {\cos x + \sin x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x\left[ {{2^{2023}}\left( {{{\sin }^{2024}}x + {{\cos }^{2024}}x} \right) - 1} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\{2^{2023}}\left( {{{\sin }^{2024}}x + {{\cos }^{2024}}x} \right) - 1 = 0\end{array} \right.\left( {do\;\cos x \ne 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x =  - 1\\{\sin ^{2024}}x + {\cos ^{2024}}x = \frac{1}{{{2^{2023}}}}\end{array} \right.\)

+) \(\tan x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

+) \({\sin ^{2024}}x + {\cos ^{2024}}x = \frac{1}{{{2^{2023}}}}\) (*) (thỏa mãn điều kiện)

Ta có: \({\sin ^{2024}}x + {\cos ^{2024}}x = 2\left[ {\frac{{{{\left( {{{\sin }^2}x} \right)}^{1012}} + {{\left( {{{\cos }^2}x} \right)}^{1012}}}}{2}} \right] \ge 2{\left( {\frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{2}} \right)^{1012}} = \frac{1}{{{2^{1011}}}}\)

Do đó, phương trình (*) vô nghiệm.

Câu 4 :

Đầu năm 2023, anh M mua một chiếc ô tô 4 chỗ giá 800 triệu đồng để chở khách. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của ô tô giảm đi 0,5% (so với tháng trước đó). Biết rằng mỗi tháng anh làm ra được 16 triệu đồng (số tiền làm ra mỗi tháng không đổi). Hỏi sau 3 năm, tổng số tiền (bao gồm giá tiền ô tô và tổng số tiền anh M làm ra) anh M có được là bao nhiêu?
Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\).

Lời giải chi tiết :

Sau 1 tháng, giá trị của ô tô còn lại là: \({u_1} = 800 - 800.0,5\%  = 800\left( {1 - 0,5\% } \right)\) (triệu đồng)

Sau 2 tháng, giá trị của ô tô còn lại là:

\({u_2} = 800\left( {1 - 0,5\% } \right) - 800\left( {1 - 0,5\% } \right).0,5\%  = 800{\left( {1 - 0,5\% } \right)^2}\) (triệu đồng)

Sau 3 tháng, giá trị của ô tô còn lại là:

\({u_3} = 800{\left( {1 - 0,5\% } \right)^2} - 800{\left( {1 - 0,5\% } \right)^2}.0,5\%  = 800{\left( {1 - 0,5\% } \right)^3}\) (triệu đồng)

Gọi \({u_n}\) là giá trị ô tô sau n tháng sử dụng.

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là \({u_1} = 800\left( {1 - 0,5\% } \right)\), công bội \(q = 1 - 0,5\% \)

Khi đó, công thức tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\) là: \({u_n} = 800.{\left( {1 - 0,5} \right)^n}\)

Sau 3 năm, giá trị sử dụng ô tô còn lại là: \({u_{36}} = 800{\left( {1 - 0,5\% } \right)^{36}} \approx 667,91\) (triệu đồng)

Sau 3 năm, số tiền anh M làm ra là: \(16.36 = 576\) (triệu đồng)

Vậy sau 3 năm, tổng số tiền (bao gồm giá tiền ô tô và tổng số tiền anh M làm ra) anh M có được là: \(667,91 + 576 = 1234,91\) (triệu đồng)

Bài liên quan
close