Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11 - Cánh diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 5

Tải về

Làm đề thi

Phần trắc nghiệm (6 điểm) Câu 1: Chọn đáp án đúng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).

Đề bài

I. Trắc nghiệm

Câu 1 :

Chọn đáp án đúng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).

A
\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).
B
\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).
C
\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\).
D
\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{\tan a\tan b - 1}}\).

Câu 2 :

Chọn câu đúng

A
Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì 2\(\pi \).
B
Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì \(\pi \).
C
Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì 2\(\pi \).
D
Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì \(\pi \).

Câu 3 :

Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, góc lượng giác nào trong các góc lượng giác dưới đây có cùng điểm cuối, cùng điểm đầu với góc lượng giác có số đo \(\frac{\pi }{4}\).

A
\(\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
B
\(\frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
C
\(\frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
D
\(\frac{\pi }{4} + k3\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Câu 4 :

Nếu \(\sin \alpha > 0,\cos \alpha < 0\) thì \(\alpha \) thuộc góc phần tư nào?

A
(I).
B
(II).
C
(III).
D
(IV).

Câu 5 :

Chọn đáp án đúng:

A
\(\sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \sin \alpha \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
B
\(\sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = - \sin \alpha \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
C
\(\sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \cos \alpha \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
D
\(\sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = - \cos \alpha \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Câu 6 :

Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai d được cho bởi hệ thức:

A
\({u_n} = {u_{n - 1}} + 2d\) với \(n \ge 2\).
B
\({u_n} = 2{u_{n + 1}}.d\) với \(n \ge 2\).
C
\({u_n} = {u_{n - 1}}.d\) với \(n \ge 2\).
D
\({u_n} = {u_{n - 1}} + d\) với \(n \ge 2\).

Câu 7 :

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) gồm các số khác 0 thỏa mãn tỉ số \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}}\) không đổi thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là:

A
Cấp số cộng.
B
Cấp số nhân.
C
Cả A và B đều đúng.
D
Cả A và B đều sai.

Câu 8 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {2020^n}\). Tính \({u_{n + 1}}\).

A
\({u_{n + 1}} = {2020^n} + 2020\).
B
\({u_{n + 1}} = {2020^{n + 1}}\).
C
\({u_{n + 1}} = {2020^n} + 1\).
D
\({u_{n + 1}} = 2020\left( {n + 1} \right)\).

Câu 9 :

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) khi và chỉ khi:

A
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\).
B
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + a} \right) = 0\).
C
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}.a} \right) = 0\).
D
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 1\).

Câu 10 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Mệnh đề nào đúng?

A
Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không có nghiệm trong \(\left( {a;b} \right)\).
B
Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong \(\left( {a;b} \right)\).
C
Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong \(\left( {a;b} \right)\).
D
Cả A, B, C đều sai.

Câu 11 :

Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới:

Hàm số f(x) không liên tục tại:

A
\(x = 2\).
B
\(x = 1\).
C
\(x = 0\)
D
\(x = - 1\).

Câu 12 :

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = - \infty \) thì:

A
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = - \infty \).
B
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = + \infty \).
C
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\).
D
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = a\).

Câu 13 :

Cho hình chóp S. ABCD có O là giao điểm của AC và BD. Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BD, SD. Điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng (SOC)?

A
Điểm A.
B
Điểm B.
C
Điểm I.
D
Điểm M.

Câu 14 :

Chọn đáp án sai.

A
Trong không gian, có ba đường thẳng phân biệt cùng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
B
Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
C
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
D
Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Câu 15 :

Với điều kiện nào dưới đây thì đường thẳng d song song với mặt phẳng (P)?

A
a//d, \(a \subset \left( P \right)\).
B
d//a, a//(P).
C
\(d \cap \left( P \right) = \emptyset \).
D
d//a, \(a \cap \left( P \right) = \emptyset \).

Câu 16 :

Nếu đường thẳng d và mặt phẳng (P) có … điểm chung thì d cắt mặt phẳng (P).

Từ (cụm từ) thích hợp điền vào “…” để được câu đúng là:

A
duy nhất một.
B
hai.
C
không.
D
vô số.

Câu 17 :

Hình chóp S. ABCD có bao nhiêu đỉnh?

A
7.
B
5.
C
6.
D
8.

Câu 18 :

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) chứa a và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến b. Kết luận nào sau đây đúng?

A
a và b cắt nhau.
B
a và b trùng nhau.
C
a và b chéo nhau.
D
a và b song song.

Câu 19 :

Cho \(\tan \alpha = -2\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Chọn đáp án đúng.

A
\(\cos \alpha = - \sqrt 5 \).
B
\(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
C
\(\cos \alpha = \frac{{ - \sqrt 5 }}{5}\).
D
\(\cos \alpha = \sqrt 5 \).

Câu 20 :

Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}}\)

A
\(A = \cot 2x\).
B
\(A = \tan 2x\).
C
\(A = \sin 2x\).
D
\(A = \cos 2x\).

Câu 21 :

Giá trị của biểu thức \(\sin \frac{{37\pi }}{{12}}\) bằng:

A
\(\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\).
B
\( - \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\).
C
\(\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\).
D
\(\frac{{ - \sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\).

Câu 22 :

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2024\) và \({u_n} = {u_{n - 1}} - 3\) với \(n \ge 2\), \(n \in \mathbb{N}*\). Số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho là:

A
\({u_n} = - 3n - 2027\) với \(n \ge 2\), \(n \in \mathbb{N}*\).
B
\({u_n} = - 3n + 2027\) với \(n \ge 2\), \(n \in \mathbb{N}*\).
C
\({u_n} = 3n + 2027\) với \(n \ge 2\), \(n \in \mathbb{N}*\).
D
\({u_n} = 3n + 2027\) với \(n \ge 2\), \(n \in \mathbb{N}*\).

Câu 23 :

Theo ước tính, kể từ lúc mới mua, cứ sau mỗi 200 lần sạc thì pin của điện thoại X sẽ giảm 4% so với chu kỳ 200 lần sạc trước đó. Hỏi sau 1 200 lần sạc thì pin của điện thoại X còn lại bao nhiêu phần trăm so với lúc mới mua? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A
78,28%.
B
78,27%.
C
81,54%.
D
81,53%.

Câu 24 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 25{n^2} + 10n + 9\). Chọn khẳng định đúng:

A
Dãy số trên bị chặn dưới.
B
Dãy số trên bị chặn trên.
C
Dãy số trên không bị chặn.
D
Dãy số trên bị chặn.

Câu 25 :

Tìm số thực a khác 0 sao cho \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} - 2}}{{a{n^2} - 1}} = 2\)

A
\(a = - \frac{1}{2}\).
B
\(a = - 2\).
C
\(a = 2\).
D
\(a = \frac{1}{2}\).

Câu 26 :

Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} - 18n} - n} \right)\) bằng:

A
9.
B
\( - 9\).
C
18.
D
\( + \infty \).

Câu 27 :

Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 3,333… dưới dạng phân số ta được:

A
\(\frac{{10}}{3}\).
B
\(\frac{3}{{10}}\).
C
\(\frac{{100}}{3}\).
D
\(\frac{{100}}{{33}}\).

Câu 28 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của AM và BD, \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua A, M và song song với SD. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt SB tại N. Tỉ số \(\frac{{SN}}{{SB}}\) là:

A
\(\frac{3}{4}\).
B
\(\frac{1}{2}\).
C
\(\frac{2}{3}\).
D
\(\frac{1}{3}\).

Câu 29 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, P là điểm thuộc SA. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (PMN) là đường thẳng:

A
Qua P song song với AB.
B
Qua P song song với AD.
C
PD.
D
Qua P song song với MC.

Câu 30 :

Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong tam giác ACD. Gọi I và J lần lượt là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ sao cho IJ không song song với CD. Gọi H là giao điểm của IJ với CD, K là giao điểm của MH và AC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (IJM) là:

A
KI.
B
KJ.
C
HI.
D
HM.

II. Tự luận

Câu 1 :

Tìm các giá trị của tham số a để \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {4{n^2} - 5n + 8} + a - 2n} \right) = 1\).

Câu 2 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA. J, K lần lượt thuộc BC, AD sao cho \(\frac{{BC}}{{BJ}} = \frac{{DA}}{{DK}} = 2\). Chứng minh rằng SC//( MJK).

Câu 3 :

Cho hàm số \(y = \frac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}}\). Chứng minh rằng \(\frac{2}{{11}} \le y \le 2\)

Câu 4 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = \frac{{ - {u_n} + 1}}{{2{u_n}}},n \ge 1,n \in \mathbb{N}\end{array} \right.\). Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.

Lời giải và đáp án

I. Trắc nghiệm

Câu 1 :

Chọn đáp án đúng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).

A
\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).
B
\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).
C
\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\).
D
\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{\tan a\tan b - 1}}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức: \(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\)

Câu 2 :

Chọn câu đúng

A
Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì 2\(\pi \).
B
Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì \(\pi \).
C
Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì 2\(\pi \).
D
Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì \(\pi \).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về hàm số \(y = \cot x\): Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì \(\pi \).

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì \(\pi \).

Câu 3 :

A
\(\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
B
\(\frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
C
\(\frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
D
\(\frac{\pi }{4} + k3\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức: Cho hai góc lượng giác (Ou, Ov), (O’u’, O’v’) có tia đầu trùng nhau, tia cuối cùng nhau nếu: \(\left( Ou,Ov \right)=\left( O’u’,O’v’ \right)+k2\pi \) với k là số nguyên.

Lời giải chi tiết :

Góc lượng giác có cùng điểm cuối, cùng điểm đầu với góc lượng giác có số đo \(\frac{\pi }{4}\) là: \(\frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Câu 4 :

Nếu \(\sin \alpha > 0,\cos \alpha < 0\) thì \(\alpha \) thuộc góc phần tư nào?

A
(I).
B
(II).
C
(III).
D
(IV).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về dấu của giá trị lượng giác: Nếu \(\sin \alpha > 0,\cos \alpha < 0\) thì \(\alpha \) thuộc góc phần tư thứ (II).

Lời giải chi tiết :

Nếu \(\sin \alpha > 0,\cos \alpha < 0\) thì \(\alpha \) thuộc góc phần tư thứ (II).

Câu 5 :

Chọn đáp án đúng:

A
\(\sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \sin \alpha \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
B
\(\sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = - \sin \alpha \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
C
\(\sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \cos \alpha \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
D
\(\sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = - \cos \alpha \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử kiến thức giá trị lượng giác của góc lượng giác: \(\sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \sin \alpha \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải chi tiết :

\(\sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \sin \alpha \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Câu 6 :

Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai d được cho bởi hệ thức:

A
\({u_n} = {u_{n - 1}} + 2d\) với \(n \ge 2\).
B
\({u_n} = 2{u_{n + 1}}.d\) với \(n \ge 2\).
C
\({u_n} = {u_{n - 1}}.d\) với \(n \ge 2\).
D
\({u_n} = {u_{n - 1}} + d\) với \(n \ge 2\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về cấp số cộng: Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi \({u_n} = {u_{n - 1}} + d\) với \(n \ge 2\).

Lời giải chi tiết :

Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi \({u_n} = {u_{n - 1}} + d\) với \(n \ge 2\).

Câu 7 :

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) gồm các số khác 0 thỏa mãn tỉ số \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}}\) không đổi thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là:

A
Cấp số cộng.
B
Cấp số nhân.
C
Cả A và B đều đúng.
D
Cả A và B đều sai.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về chứng minh cấp số nhân: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) gồm các số khác 0 thỏa mãn tỉ số \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}}\) không đổi thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân.

Lời giải chi tiết :

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) gồm các số khác 0 thỏa mãn tỉ số \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}}\) không đổi thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân.

Câu 8 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {2020^n}\). Tính \({u_{n + 1}}\).

A
\({u_{n + 1}} = {2020^n} + 2020\).
B
\({u_{n + 1}} = {2020^{n + 1}}\).
C
\({u_{n + 1}} = {2020^n} + 1\).
D
\({u_{n + 1}} = 2020\left( {n + 1} \right)\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức số hạng tổng quát của dãy số.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({u_{n + 1}} = {2020^{n + 1}}\)

Câu 9 :

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) khi và chỉ khi:

A
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\).
B
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + a} \right) = 0\).
C
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}.a} \right) = 0\).
D
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 1\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc về giới hạn dãy số: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết :

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\).

Câu 10 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Mệnh đề nào đúng?

A
Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không có nghiệm trong \(\left( {a;b} \right)\).
B
Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong \(\left( {a;b} \right)\).
C
Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong \(\left( {a;b} \right)\).
D
Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức hàm số liên tục: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong \(\left( {a;b} \right)\).

Lời giải chi tiết :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong \(\left( {a;b} \right)\).

Câu 11 :

Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới:

Hàm số f(x) không liên tục tại:

A
\(x = 2\).
B
\(x = 1\).
C
\(x = 0\)
D
\(x = - 1\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về hàm số liên tục.

Lời giải chi tiết :

Tại \(x = 2\) thì hàm số không liên tục.

Câu 12 :

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = - \infty \) thì:

A
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = - \infty \).
B
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = + \infty \).
C
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\).
D
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = a\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc tính giới hạn của dãy số: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = - \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\).

Lời giải chi tiết :

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = - \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\)

Câu 13 :

Cho hình chóp S. ABCD có O là giao điểm của AC và BD. Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BD, SD. Điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng (SOC)?

A
Điểm A.
B
Điểm B.
C
Điểm I.
D
Điểm M.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về điểm thuộc mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Vì điểm \(A \in OC\) nên điểm A thuộc mặt phẳng (SOC).

Câu 14 :

Chọn đáp án sai.

A
Trong không gian, có ba đường thẳng phân biệt cùng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
B
Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
C
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
D
Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

Lời giải chi tiết :

Trong không gian, chỉ có một đường thẳng phân biệt đi qua hai điểm phân biệt cho trước nên đáp án A sai.

Câu 15 :

Với điều kiện nào dưới đây thì đường thẳng d song song với mặt phẳng (P)?

A
a//d, \(a \subset \left( P \right)\).
B
d//a, a//(P).
C
\(d \cap \left( P \right) = \emptyset \).
D
d//a, \(a \cap \left( P \right) = \emptyset \).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về đường thẳng song song với mặt phẳng:

+ Nếu d và (P) không có điểm chung thì ta nó d song song với (P).

+ Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì a song song với (P).

Lời giải chi tiết :

Đáp án đúng: \(d \cap \left( P \right) = \emptyset \)

Câu 16 :

Nếu đường thẳng d và mặt phẳng (P) có … điểm chung thì d cắt mặt phẳng (P).

Từ (cụm từ) thích hợp điền vào “…” để được câu đúng là:

A
duy nhất một.
B
hai.
C
không.
D
vô số.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian: Nếu đường thẳng d và mặt phẳng (P) có duy nhất một điểm chung thì d cắt mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Nếu đường thẳng d và mặt phẳng (P) có duy nhất một điểm chung thì d cắt mặt phẳng (P).

Câu 17 :

Hình chóp S. ABCD có bao nhiêu đỉnh?

A
7.
B
5.
C
6.
D
8.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về hình chóp tứ giác: Hình chóp S. ABCD có 5 đỉnh là S, A, B, C, D.

Lời giải chi tiết :

Hình chóp S. ABCD có 5 đỉnh là S, A, B, C, D.

Câu 18 :

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) chứa a và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến b. Kết luận nào sau đây đúng?

A
a và b cắt nhau.
B
a và b trùng nhau.
C
a và b chéo nhau.
D
a và b song song.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về đường thẳng song song với mặt phẳng: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) chứa a và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến b thì b song song với a.

Lời giải chi tiết :

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) chứa a và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến b thì b song song với a.

Câu 19 :

Cho \(\tan \alpha = -2\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Chọn đáp án đúng.

A
\(\cos \alpha = - \sqrt 5 \).
B
\(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
C
\(\cos \alpha = \frac{{ - \sqrt 5 }}{5}\).
D
\(\cos \alpha = \sqrt 5 \).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức: \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).

Lời giải chi tiết :

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha < 0\).

Ta có: \(\frac{1}{{\cos \alpha }} = - \sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } = - \sqrt 5 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{ - \sqrt 5 }}{5}\).

Câu 20 :

Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}}\)

A
\(A = \cot 2x\).
B
\(A = \tan 2x\).
C
\(A = \sin 2x\).
D
\(A = \cos 2x\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức: \(\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2};\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2};\)

Lời giải chi tiết :

\(A = \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}} = \frac{{2\sin 2x\cos x + \sin 2x}}{{2\cos 2x\cos x + \cos 2x}} = \frac{{\sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right)}}{{\cos 2x\left( {2\cos x + 1} \right)}} = \tan 2x\)

Câu 21 :

Giá trị của biểu thức \(\sin \frac{{37\pi }}{{12}}\) bằng:

A
\(\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\).
B
\( - \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\).
C
\(\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\).
D
\(\frac{{ - \sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến công thức: \(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\)

Lời giải chi tiết :

\(\sin \frac{{37\pi }}{{12}} = \sin \left( {2\pi + \pi + \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \left( {\pi + \frac{\pi }{{12}}} \right) = - \sin \frac{\pi }{{12}} = - \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( = - \left( {\sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}} \right) = - \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{ - \sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\)

Câu 22 :

A
\({u_n} = - 3n - 2027\) với \(n \ge 2\), \(n \in \mathbb{N}*\).
B
\({u_n} = - 3n + 2027\) với \(n \ge 2\), \(n \in \mathbb{N}*\).
C
\({u_n} = 3n + 2027\) với \(n \ge 2\), \(n \in \mathbb{N}*\).
D
\({u_n} = 3n + 2027\) với \(n \ge 2\), \(n \in \mathbb{N}*\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({u_1} = 2024\) và \({u_n} = {u_{n - 1}} - 3\) với \(n \ge 2\), \(n \in \mathbb{N}*\) nên \(d = {u_n} - {u_{n - 1}} = \left( {{u_{n - 1}} - 3} \right) - {u_{n - 1}} = - 3\)

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2024 + \left( {n - 1} \right)\left( { - 3} \right) = - 3n + 2027\) với \(n \ge 2\), \(n \in \mathbb{N}*\).

Câu 23 :

A
78,28%.
B
78,27%.
C
81,54%.
D
81,53%.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\) với \(n \ge 2\).

Lời giải chi tiết :

200 lần sạc tạo thành 1 chu kì, 1200 lần sạc tạo thành 6 chu kì.

Pin điện thoại ban đầu là 100%, sau 1 chu kì còn 96% = 0,96.

Sau chu kì thứ 2, pin chỉ còn 96% so với sau chu kì 1, tức 0,96.0,96 = 0,9216.

…

Như vậy, pin điện thoại sau mỗi chu kì sạc sẽ tạo thành một cấp số nhân có công bội \(q = 0,96\) và số hạng đầu \({u_1} = 100\% \).

Mức pin điện thoại ban đầu là \({u_1} = 100\% \).

Mức pin điện thoại sau 1 chu kì là \({u_2}\).

Mức pin điện thoại sau 2 chu kì là \({u_3}\).

…

Mức pin điện thoại sau 6 chu kì là \({u_7}\).

Dung lượng pin của điện thoại còn lại sau 1200 lần sạc so với lúc mới mua là: \({u_7} = {u_1}.{q^6} = 100\% .{\left( {0,96} \right)^6} \approx 78,28\% \).

Câu 24 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 25{n^2} + 10n + 9\). Chọn khẳng định đúng:

A
Dãy số trên bị chặn dưới.
B
Dãy số trên bị chặn trên.
C
Dãy số trên không bị chặn.
D
Dãy số trên bị chặn.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về dãy số bị chặn:

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho \({u_n} \ge m\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({u_n} = 25{n^2} + 10n + 9 = \left( {25{n^2} + 10n + 1} \right) + 8 = {\left( {5n + 1} \right)^2} + 8 \ge 8\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Do đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới, không bị chặn trên.

Câu 25 :

Tìm số thực a khác 0 sao cho \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} - 2}}{{a{n^2} - 1}} = 2\)

A
\(a = - \frac{1}{2}\).
B
\(a = - 2\).
C
\(a = 2\).
D
\(a = \frac{1}{2}\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức giới hạn dãy số: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = b \ne 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} - 2}}{{a{n^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}\left( {\frac{{{n^2}}}{{{n^2}}} - \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {\frac{{a{n^2}}}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 - \frac{2}{{{n^2}}}}}{{a - \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{a}\)

Do đó, \(\frac{1}{a} = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}\left( {tm} \right)\)

Câu 26 :

Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} - 18n} - n} \right)\) bằng:

A
9.
B
\( - 9\).
C
18.
D
\( + \infty \).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc về giới hạn của dãy số: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = b \ne 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\).

Lời giải chi tiết :

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} - 18n} - n} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{n^2} - 18n} - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} - 18n} + n} \right)}}{{\sqrt {{n^2} - 18n} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - 18n}}{{\sqrt {{n^2} - 18n} + n}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - 18n}}{{\sqrt {{n^2} - 18n} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - 18}}{{\sqrt {1 - \frac{{18}}{n}} + 1}} = - 9\)

Câu 27 :

Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 3,333… dưới dạng phân số ta được:

A
\(\frac{{10}}{3}\).
B
\(\frac{3}{{10}}\).
C
\(\frac{{100}}{3}\).
D
\(\frac{{100}}{{33}}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội q, số hạng đầu \({u_1}\) thì có tổng là \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(3,333... = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... = 3 + 3.\frac{1}{{10}} + 3.\frac{1}{{{{10}^2}}} + 3.\frac{1}{{{{10}^3}}} + ...\)

Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 3,q = \frac{1}{{10}}\) nên \(3,333... = \frac{3}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{{10}}{3}\)

Câu 28 :

A
\(\frac{3}{4}\).
B
\(\frac{1}{2}\).
C
\(\frac{2}{3}\).
D
\(\frac{1}{3}\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về đường thẳng song song với mặt phẳng: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì a song song với b.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và AM cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra: \(\frac{{BI}}{{BD}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{ID}}{{BD}} = \frac{2}{3}\)

Vì \(\left( \alpha \right)\) và mặt phẳng (SBD) có điểm chung là I, \(\left( \alpha \right)\)//SD, \(SD \subset \left( {DBD} \right)\) nên giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và mặt phẳng (SBD) là đường thẳng qua I song song với SD cắt SB tại N. Do đó, \(\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{ID}}{{DB}} = \frac{2}{3}\)

Câu 29 :

A
Qua P song song với AB.
B
Qua P song song với AD.
C
PD.
D
Qua P song song với MC.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về giao tuyến của hai mặt phẳng: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN//AD\\MN \subset \left( {PMN} \right)\\AD \subset \left( {SAD} \right)\\P \in \left( {PMN} \right) \cap \left( {SAD} \right)\end{array} \right.\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (PMN) là đường thẳng qua P song song với AD.

Câu 30 :

A
KI.
B
KJ.
C
HI.
D
HM.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về giao tuyến của hai mặt phẳng: Đường thẳng d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó và kí hiệu là \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: M thuộc mặt phẳng (MIJ), M thuộc mặt phẳng (ACD) nên M là điểm chung của mặt phẳng (MIJ) và mặt phẳng (ACD).

Lại có: \(H \in CD \subset \left( {ACD} \right),H \in IJ \subset \left( {IJM} \right) \Rightarrow H \in \left( {IJM} \right) \cap \left( {ACD} \right)\)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (IJM) là MH.

II. Tự luận

Câu 1 :

Tìm các giá trị của tham số a để \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {4{n^2} - 5n + 8} + a - 2n} \right) = 1\).

Phương pháp giải :

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {4{n^2} - 5n + 8} + a - 2n} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {4{n^2} - 5n + 8} + a - 2n} \right)\left( {\sqrt {4{n^2} - 5n + 8} - \left( {a - 2n} \right)} \right)}}{{\sqrt {4{n^2} - 5n + 8} - \left( {a - 2n} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {4{n^2} - 5n + 8} \right) - {{\left( {a - 2n} \right)}^2}}}{{\sqrt {4{n^2} - 5n + 8} - \left( {a - 2n} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{4an - 5n + 8 - {a^2}}}{{\sqrt {4{n^2} - 5n + 8} - \left( {a - 2n} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{4a - 5 + \frac{8}{n} - \frac{{{a^2}}}{n}}}{{\sqrt {4 - \frac{5}{n} + \frac{8}{{{n^2}}}} - \frac{a}{n} + 2}} = \frac{{4a - 5}}{4}\)

Để \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {4{n^2} - 5n + 8} + a - 2n} \right) = 1\) thì \(\frac{{4a - 5}}{4} = 1 \Leftrightarrow 4a = 9 \Leftrightarrow a = \frac{9}{4}\)

Câu 2 :

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì a song song với P.

Lời giải chi tiết :

Vì \(\frac{{BC}}{{BJ}} = \frac{{DA}}{{DK}} = 2\) và \(BC = AD\) nên \(BJ = DK\), \(JC = AK\)

Gọi O là giao điểm của AC và JK.

Tam giác JOC có JC//AK nên: \(\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{AK}}{{JC}} = 1\), suy ra O là trung điểm của AC.

Vì M, O lần lượt là trung điểm của SA và AC nên MO là đường trung bình của tam giác SAC.

Do đó, MO//SC, mà \(MO \subset \left( {MJK} \right)\) nên SC//(MJK).

Câu 3 :

Cho hàm số \(y = \frac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}}\). Chứng minh rằng \(\frac{2}{{11}} \le y \le 2\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức: Phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm khi \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)

Lời giải chi tiết :

Gọi \({y_o}\) là một giá trị của hàm số. Khi đó, phương trình \({y_o} = \frac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}}\) có nghiệm.

Ta có: \({y_o} = \frac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}} \Leftrightarrow \left( {2{y_o} - 1} \right)\cos x - \left( {{y_o} + 2} \right)\sin x = 3 - 4{y_o}\) (1)

Phương trình (1) có nghiệm \( \Leftrightarrow {\left( {2{y_o} - 1} \right)^2} + {\left( {{y_o} + 2} \right)^2} \ge {\left( {3 - 4{y_o}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 11y_o^2 - 24{y_o} + 4 \le 0 \Leftrightarrow \frac{2}{{11}} \le {y_o} \le 2\)

Vậy \(\frac{2}{{11}} \le y \le 2\).

Câu 4 :

Phương pháp giải :

Lời giải chi tiết :

Với mọi \(n \ge 1,n \in \mathbb{N}\) ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{ - {u_n} + 1}}{{2{u_n}}} \Rightarrow {u_{n + 1}} + 1 = \frac{{ - {u_n} + 1}}{{2{u_n}}} + 1 = \frac{{{u_n} + 1}}{{2{u_n}}}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} = \frac{{2{u_n}}}{{{u_n} + 1}} = - \frac{2}{{{u_n} + 1}} + 2 \Rightarrow \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} - \frac{2}{3} = - \frac{2}{{{u_n} + 1}} + \frac{4}{3} = - 2\left( {\frac{1}{{{u_n} + 1}} - \frac{2}{3}} \right)\)

Đặt \({v_n} = \frac{1}{{{u_n} + 1}} - \frac{2}{3}\) với mọi \(n \ge 1,n \in \mathbb{N}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{v_{n + 1}} = \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} - \frac{2}{3},n \ge 1,n \in \mathbb{N}\\{v_1} = \frac{1}{{{u_1} + 1}} - \frac{2}{3} = \frac{{ - 1}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{v_{n + 1}} = - 2{v_n},n \ge 1,n \in \mathbb{N}\\{v_1} = \frac{{ - 1}}{3}\end{array} \right.\)

Do đó, \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = \frac{{ - 1}}{3}\) và công bội \(q = - 2\)

Số hạng tổng quát của \(\left( {{v_n}} \right)\) là: \({v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \frac{{ - 1}}{3}{\left( { - 2} \right)^{n - 1}}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{{u_n} + 1}} - \frac{2}{3} = - \frac{1}{3}{\left( { - 2} \right)^{n - 1}} \Rightarrow \frac{1}{{{u_n} + 1}} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3}{\left( { - 2} \right)^{n - 1}}\)\( \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}{{\left( { - 2} \right)}^{n - 1}}}} - 1 = \frac{{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}{{\left( { - 2} \right)}^{n - 1}}}}{{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}{{\left( { - 2} \right)}^{n - 1}}}} = \frac{{1 + {{\left( { - 2} \right)}^{n - 1}}}}{{2 - {{\left( { - 2} \right)}^{n - 1}}}}\)

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là: \({u_n} = \frac{{1 + {{\left( { - 2} \right)}^{n - 1}}}}{{2 - {{\left( { - 2} \right)}^{n - 1}}}}\)

Bài liên quan