Dạng 6. Dãy phân số viết theo quy luật Chủ đề 6 Ôn hè Toán 6Tải vềPhát hiện quy luật của dãy số Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Tải về
Lý thuyết Phát hiện quy luật của dãy số Dạng tổng quát: k(n−k).n=n−(n−k)(n−k).n=n(n−k).n−n−k(n−k).n=1n−k−1n Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: Viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau. Bài tập Bài 1: Tính: a) A = 2017:(11.2+12.3+13.4+...+12017.2018) b) B=32.5+35.8+38.11+…+32016.2019 c) C=21.7+27.13+213.19+…+22013.2019 d) D=71.9+79.17+717.25+…+72011.2019 e) E=321.4+324.7+327.10+…+322017.2020 f) F=11.2.3+12.3.4+13.4.5+…+118.19.20 Bài 2: Tính các tổng sau: a) A=12+122+123+124+…+122020 b) B=1+12+14+18+116+132+…+12048 Bài 3: a) Tính tổng sau: A=1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+2020)1.2020+2.2019+3.2018+…+2020.1 b) Chứng minh rằng biểu thức B có giá trị bằng 12 với B=1.2020+2.2019+3.2018+…+2020.11.2+2.3+3.4+…+2020.2021.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 1: Tính: a) A = 2017:(11.2+12.3+13.4+...+12017.2018) b) b) B=32.5+35.8+38.11+…+32016.2019 c) C=21.7+27.13+213.19+…+22013.2019 d) D=71.9+79.17+717.25+…+72011.2019 e) E=321.4+324.7+327.10+…+322017.2020 f) F=11.2.3+12.3.4+13.4.5+…+118.19.20 Phương pháp Nhận xét: Tử số bằng hiệu của các thừa số ở mẫu. Dạng tổng quát: k(n−k).n=n−(n−k)(n−k).n=n(n−k).n−n−k(n−k).n=1n−k−1n Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: Viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau. Lời giải 2017:(11.2+12.3+13.4+...+12017.2018) =2017:(1−12+12−13+...+12017−12018)=2017:(1−12018)=2017:20172018=2017.20182017=2018. Vậy x=−23 b) B=32.5+35.8+38.11+…+32016.2019 =5−22.5+8−55.8+11−88.11+…+2019−20162016.2019=52.5−22.5+85.8−55.8+118.11−88.11+…+20192016.2019−20162016.2019=12−15+15−18+18−111+…+12016−12019=12−12019=2019−22.2019=20174038. c) C=21.7+27.13+213.19+…+22013.2019 Xét từng phân số ta thấy: Hiệu 2 thừa số ở mẫu bằng 6 ⇒ Nhân cả 2 vế của biểu thức với 3. ⇒3C=3⋅(21.7+27.13+213.19+…+22013.2019)=61.7+67.13+613.19+…+62013.2019 =(11−17)+(17−113)+(113−119)+…+(12013−12019)=11−17+17−113+113−119+…+12013−12019=1−12019=20182019 ⇒3C=20182019⇒C=20182019:3=20182019⋅13=20186057 d) D=71.9+79.17+717.25+…+72011.2019 ⇒D=7⋅88⋅(11.9+19.17+117.25+…+12011.2019)=78⋅(81.9+89.17+817.25+…+82011.2019)=78⋅(1−19+19−117+117−125+…+12011−12019)=78⋅(1−12019)=78⋅(20192019−12019)=78⋅20182019=7.10094.2019=70638076 Vậy D=70638076. e) E=321.4+324.7+327.10+…+322017.2020 =3.31.4+3.34.7+3.37.10+…+3.32017.2020=3⋅(31.4+34.7+37.10+…+32017.2020)=3⋅(11−14+14−17+17−110+…+12017−12020)=3⋅(1−12020)=3⋅(20202020−12020)=3⋅20192020=60572020 Vậy E=60572020⋅ f) F=11.2.3+12.3.4+13.4.5+…+118.19.20 Ta xét: 21.2.3=3−11.2.3=31.2.3−11.2.3=11.2−12.3 22.3.4=4−22.3.4=42.3.4−22.3.4=12.3−13.4 ........ 218.19.20=20−1818.19.20=2018.19.20−1818.19.20=118.19−119.20 Tổng quát: 1n.(n+1)−1(n+1)(n+2)=2n(n+1)(n+2) ⇒F=11.2.3+12.3.4+13.4.5+…+118.19.20 ⇒2F=21.2.3+22.3.4+23.4.5+…+218.19.20 =11.2−12.3+12.3−13.4+13.4−14.5+…+118.19−119.20 =11.2−119.20=19.10−119.20=190−1380=189380 ⇒F=189380:2=189380⋅12=189760 Vậy F=189760⋅ Bài 2: Tính các tổng sau: a) A=12+122+123+124+…+122020 b) B=1+12+14+18+116+132+…+12048 Phương pháp Xét các phân số có tử bằng nhau và có mẫu là lũy thừa tăng dần của cùng 1 cơ số thì ta nhân cả 2 vế với đúng cơ số đó. Trường hợp tổng quát: A=1a1+1a2+1a3+…+1an⇒A.a=a(1a1+1a2+1a3+…+1an)=1+1a+…+1an−1
Lời giải a) A=12+122+123+124+…+122020 ⇒2A=2⋅(12+122+123+124+…+122020) ⇒2A=2⋅12+2⋅122+2⋅123+2⋅124+…+2⋅122020 ⇒2A=1+12+122+123+…+122019 A=12+122+123+124+…+122020 ⇒2A−A=(1+12+122+123+…+122019)−(12+122+123+124+…+122020) ⇒A=1+12+122+123+…+122019−12−122−123−124−…−122020 ⇒A=1−122020=22020−122020 Vậy A=22020−122020. b) B=1+12+14+18+116+…+12048 =1+12+122+123+124+…+1211 ⇒2B=2⋅(1+12+122+123+124+…+1211) ⇒2B=2.1+2⋅12+2⋅122+2⋅123+2⋅124+…+2⋅1211 ⇒2B=2+1+12+122+123+…+1210 ⇒2B=3+12+122+123+…+1210 B=1+12+122+123+124+…+1211 ⇒2B−B=2−1211⇒B=212−1211; Vậy B=212−1211⋅ Bài 3: a) Tính tổng sau: A=1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+2020)1.2020+2.2019+3.2018+…+2020.1 b) Chứng minh rằng biểu thức B có giá trị bằng 12 với B=1.2020+2.2019+3.2018+…+2020.11.2+2.3+3.4+…+2020.2021. Phương pháp +) Áp dụng quy tắc dấu ngoặc, nhóm các hạng tử. +) Áp dụng công thức tính tổng của 1 dãy các số tự nhiên liên tiếp: 1+2+…+n=n+12⋅n=n.(n+1)2 Lời giải a) A=1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+2020)1.2020+2.2019+3.2018+…+2020.1 Ta có: A=1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+2020)1.2020+2.2019+3.2018+…+2020.1=1+1+2+1+2+3+…+1+2+3+…20201.2020+2.2019+3.2018+…+2020.1=(1+1+1+…+1)+(2+2+…2)+(3+3+3+3…)+…+20201.2020+2.2019+3.2018+…+2020.1 =1.2020+2.2019+3.2018+…+2020.11.2020+2.2019+3.2018+…+2020.1=1 b) Chứng minh rằng biểu thức B có giá trị bằng 12 với B=1.2020+2.2019+3.2018+…+2020.11.2+2.3+3.4+…+2020.2021. Với biểu thức B, xét tử số ta có: 1.2020+2.2019+3.2018+…+2020.1 =1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+2020) =0+12⋅2+1+22⋅2+1+32⋅3+…+1+20202⋅2020 =12⋅2+32⋅2+42⋅3+…+20212⋅2020 =1.22+2.32+3.42+…+2020.20212 =12⋅(1.2+2.3+3.4+…+2020.2021) ⇒B=1.2020+2.2019+3.2018+…+2020.11.2+2.3+3.4+…+2020.2021=12⋅(1.2+2.3+3.4+…+2020.2021)1.2+2.3+3.4+…+2020.2021=12. Vậy B=12⋅
Quảng cáo
|