1. Tính đơn điệu của hàm số
Định lý 1
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K
- Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
- Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
|
Chú ý:
a) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K, f’(x) 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K, f’(x) 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm của K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
c) Nếu f’(x) = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số không đổi trên K.
2. Cực trị của hàm số
Khái niệm cực trị của hàm số
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập \(K \subset R\), trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng và \({x_0} \in K,{x_1} \in K\)
- \({x_0}\) được gọi là một điểm cực đại của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) sao cho (a;b) \( \subset \) K và \(f(x) < f({x_0})\) với mọi \(x \in (a;b)\) và \(x \ne {x_0}\). Khi đó, \(f({x_0})\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số đã cho, kí hiệu là \({f_{CĐ}}\)
- \({x_1}\) được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) sao cho (c;d) \( \subset \) K và \(f(x) > f({x_1})\) với mọi \(x \in (c;d)\) và \(x \ne {x_1}\). Khi đó, \(f({x_1})\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số đã cho, kí hiệu là \({f_{CT}}\)
- Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị)
|
Định lý
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó:
a) Nếu f’(x) < 0 với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}\)
b) Nếu f’(x) > 0 với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}\)
|