Giải bài tập 9 trang 43 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = 2a\), \(AD = 5a\), \(SA = 3a\). Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ \(Oxyz\) như hình dưới đây, tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right).\)

Lời giải chi tiết

Theo hình vẽ, toạ độ điểm \(A\) là \(A\left( {0;0;0} \right).\)

Điểm \(B\) nằm trên trục \(Ox\), \({x_B} > 0\) và \(AB = 2a\) nên toạ độ điểm \(B\) là \(B\left( {2a;0;0} \right).\)

Điểm \(S\) nằm trên trục \(Oz\), \({z_S} > 0\) và \(SA = 3a\) nên toạ độ điểm \(S\) là \(S\left( {0;0;3a} \right).\)

Điểm \(D\) nằm trên trục \(Oy\), \({y_D} > 0\) và \(AD = 5a\) nên toạ độ điểm \(D\) là \(D\left( {0;5a;0} \right).\)

Điểm \(C\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), \(CB \bot Ox\), \(CD \bot Oy\) nên toạ độ điểm \(C\) là \(C\left( {2a;5a;0} \right).\)

Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) đi qua \(S\), \(B\), \(C\). Ta có \(\overrightarrow {SB}  = \left( {2a;0; - 3a} \right)\) và \(\overrightarrow {BC}  = \left( {0;5a;0} \right)\). Suy ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là \(\vec u = \frac{1}{a}\overrightarrow {SB}  = \left( {2;0; - 3} \right)\) và \(\vec v = \frac{1}{a}\overrightarrow {BC}  = \left( {0;5;0} \right).\)

Từ đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là

\(\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {0.0 - \left( { - 3} \right).5;\left( { - 3} \right).0 - 2.0;2.5 - 0.0} \right) = \left( {15;0;10} \right).\)

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là

\(15\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 10\left( {z - 3a} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2z - 6a = 0.\)

Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là:

\(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.0 + 2.0 - 6a} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{6a\sqrt {13} }}{{13}}.\)