Giải bài tập 5 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 + 2t\\z =  - 2 + t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\y = 3 + 4t'\\z = 2t'\end{array} \right.\)

b) \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{2}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 1}}{1}\).

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;2;1} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {2;4;2} \right)\).

Do \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) nên \(\vec a\) và \(\vec a'\) cùng phương, suy ra \(d\) và \(d'\) hoặc song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm \(M\left( {1; - 1; - 2} \right)\) thuộc \(d\).

Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình \(x = 2 + 2t'\) ta có \(1 = 2 + 2t' \Rightarrow t' =  - \frac{1}{2}\).

Thay \(y =  - 1\) và \(t' =  - \frac{1}{2}\) vào phương trình \(y = 3 + 4t'\), ta thấy phương trình không thoả mãn, do \(3 + 4.\frac{{ - 1}}{2} = 1 \ne  - 1\).

Vậy điểm \(M\) không thuộc \(d'\). Suy ra \(d\parallel d'\).

b) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;2;2} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;5;1} \right)\).

Do \(\frac{1}{1} \ne \frac{2}{5}\), nên \(\vec a\) và \(\vec a'\) không cùng phương. Suy ra \(d\) và \(d'\) hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.

Lấy điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) thuộc \(d\) và \(M'\left( {2;1;1} \right)\) thuộc \(d'\).

Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right] = \left( { - 8;1;3} \right)\) và \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {1; - 1; - 2} \right)\).

Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'}  = \left( { - 8} \right).1 + 1.\left( { - 1} \right) + 3.\left( { - 2} \right) =  - 15 \ne 0.\)

Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau.