Giải bài tập 4.35 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

 

Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5\left( {0 \le x \le 30} \right)\) (x, y tính theo cm) quay tròn quanh bệ gồm có trục trùng với trục hoành Ox. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu \(c{m^3}\) đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là 1cm.

Lời giải chi tiết

\(\pi \int\limits_0^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx}  - \pi \int\limits_0^{30} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_{30}^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx} \)

\( = \pi \int\limits_{30}^{31} {\left( {\frac{1}{{{{175}^2}}}{x^4} + \frac{9}{{1225}}{x^2} + 25 + \frac{{6{x^3}}}{{6125}} + \frac{{6x}}{7} + \frac{2}{{35}}{x^2}} \right)dx} \)

\( = \pi \int\limits_{30}^{31} {\left( {\frac{1}{{{{175}^2}}}{x^4} + \frac{{79}}{{1225}}{x^2} + 25 + \frac{{6{x^3}}}{{6125}} + \frac{{6x}}{7}} \right)dx} \)

\( = \pi \left( {\frac{{{x^5}}}{{153125}} + \frac{{79{x^3}}}{{3675}} + 25x + \frac{{3{x^4}}}{{12250}} + \frac{{3{x^2}}}{7}} \right)\left| \begin{array}{l}31\\30\end{array} \right.\)

\( = \pi \left( {\frac{{2058364381}}{{918750}} - \frac{{101586}}{{49}}} \right) \approx 167,21\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

Vậy để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng khoảng \(167,21\pi \;c{m^3}\)