Giải bài tập 4.31 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Tính các tích phân sau: a) \(\int\limits_1^4 {\left( {{x^3} - 2\sqrt x } \right)dx} \); b) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - \sin x} \right)dx} \); c) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} \); d) \(\int\limits_1^{16} {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}dx} \).

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {e^x},y = x,x = 0\) và \(x = 1\).

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox: a) \(y = 1 - {x^2},y = 0,x = - 1,x = 1\); b) \(y = \sqrt {25 - {x^2}} ,y = 0,x = 2,x = 4\).

Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5\left( {0 \le x \le 30} \right)\) (x, y tính theo cm) quay tròn quanh bệ gồm có trục trùng với trục hoành Ox. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu \(c{m^3}\) đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là 1cm.

Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 30m/s. Gia tốc trọng trường là 9,8\(m/{s^2}\). Tìm vận tốc của viên đạn ở thời điểm 2 giây.