Giải bài tập 4.29 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = 2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thỏa mãn điều kiện \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1\).

Quảng cáo

Đề bài

 

 

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = 2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thỏa mãn điều kiện \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) =  - 1\).

 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx}  = k\int {f\left( x \right)dx} \)

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: \(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } \), \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \)

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính:

\(\int {\cos x} dx = \sin x + C,\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx =  - \cot x + C\)

 

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\int {\left( {2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}  = 2\int {\cos x + \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} = 2\sin x - \cot x + C} } \)

Vì \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) =  - 1\) nên \(2\sin \frac{\pi }{4} - \cot \frac{\pi }{4} + C =  - 1\), suy ra \(C =  - \sqrt 2 \)

Do đó, \(F\left( x \right) = 2\sin x - \cot x - \sqrt 2 \).

 

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close