Giải bài tập 3 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho hai điểm (Aleft( {1;0;0} right)) và (Bleft( {5;0;0} right)). Chứng minh rằng nếu điểm (Mleft( {x;y;z} right)) thoả mãn (overrightarrow {MA} .overrightarrow {MB} = 0) thì (M) thuộc một mặt cầu (left( S right)). Tìm tâm và bán kính của (left( S right)).

Quảng cáo

Đề bài

Cho hai điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\) và \(B\left( {5;0;0} \right)\). Chứng minh rằng nếu điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thoả mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = 0\) thì \(M\) thuộc một mặt cầu \(\left( S \right)\). Tìm tâm và bán kính của \(\left( S \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xác định toạ độ các vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} \), sau đó tính tích vô hướng \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) theo \(x\), \(y\), \(z\) và rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow {MA}  = \left( {1 - x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow {MB}  = \left( {5 - x;y;z} \right)\).

Do \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = 0\) nên

\(\begin{array}{l}\left( {1 - x} \right)\left( {5 - x} \right) + {y^2} + {z^2} = 0\\ \Rightarrow {x^2} - 6x + 5 + {y^2} + {z^2} = 0\\ \Rightarrow \left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + {y^2} + {z^2} = 4\\ \Rightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\end{array}\)

Vậy điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thuộc mặt cầu \(S\) có tâm \(I\left( {3;0;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 4  = 2\).

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close