Giải bài tập 2 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0\).

b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0\).

c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0\).

Lời giải chi tiết

a) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0\) là phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a =  - \frac{5}{2}\), \(b = \frac{7}{2}\), \(c =  - \frac{1}{2}\) và \(d =  - 1\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} + 1 = \frac{{79}}{4} > 0.\)

Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0\) là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {\frac{{ - 5}}{2};\frac{7}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{\sqrt {79} }}{2}\).

b) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0\) là phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a =  - 2\), \(b =  - 3\), \(c = 1\) và \(d = 100\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( { - 2} \right)^2} + {\left( { - 3} \right)^2} + {1^2} - 100 =  - 86 < 0.\)

Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0\) không phải là phương trình mặt cầu.

c) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0\) là phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a = b = c = \frac{1}{2}\) và \(d = \frac{1}{2}\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} > 0.\)

Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0\) là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {\frac{1}{4}}  = \frac{1}{2}\).