Giải bài tập 24 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

 

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác BC’D’.

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} } \right)\).

b) Tính theo a độ dài đoạn thẳng AG.

Lời giải chi tiết

a) Gọi H là tâm của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, H là trung điểm của AC’. Do đó, \(\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {HC'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC'} \).

Vì G là trọng tâm của tam giác BC’D’ và C’H là đường trung tuyến của tam giác BC’D’ nên: \(\overrightarrow {HG}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC'} \).

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \) (quy tắc hình hộp)

Ta có: \(\overrightarrow {AG}  = \overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {HG}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC'}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {HC'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC'}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC'}  = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} } \right)\)

b) Theo phần a ta có: \(\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC'} \) nên \(AG = \frac{2}{3}AC'\)

Tam giác ACD vuông tại D nên \(AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}}  = a\sqrt 2 \)

Tam giác ACC’ vuông tại C nên \(AC' = \sqrt {A{C^2} + CC{'^2}}  = \sqrt {2{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3 \)

Do đó, \(AG = \frac{2}{3}.a\sqrt 3  = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)