Bài 92 trang 121 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác cân \(ABC\), \(AB = AC = 10cm\), \(BC = 16cm\). Trên đường cao \(AH\) lấy điểm \(I\) sao cho \(AI = \displaystyle {1 \over 3}AH.\) Vẽ tia \(Cx\) song song với \(AH\), \(Cx\) cắt tia \(BI\) tại \(D\).

a) Tính các góc của tam giác \(ABC\).

b) Tính diện tích tứ giác \(ABCD\).

Lời giải chi tiết

a) Vì tam giác ABC cân tại A có \(AH \bot BC\) nên AH cũng là đường trung tuyến, suy ra: \(HB = HC =\displaystyle {{BC} \over 2} = 8\,(cm)\)

Trong tam giác vuông \(ABH\), ta có: 

\(\cos \widehat B = \displaystyle {{HB} \over {AB}} = {8 \over {10}} = 0,8\)

Suy ra: \(\widehat B \approx 36^\circ 52'\)

Vì \(∆ABC\) cân nên \(\widehat B = \widehat C = 36^\circ 52'\)

Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C= 180^\circ  \) (tổng 3 góc trong tam giác ABC)

\(\widehat A = 180^\circ  - (\widehat B + \widehat C) \)\(= 180^\circ  - (36^\circ 52' + 36^\circ 52') = 106^\circ 16'\)

b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABH, ta có:

\(\eqalign{
 A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} \cr 
 \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\cr = {10^2} - {8^2} = 36 \cr} \)

Suy ra: \(AH = 6 (cm)\)

Ta có: \(AI = \displaystyle {1 \over 3}.AH = {1 \over 3}.6 = 2\,(cm)\)

Suy ra: \(IH = AH - AI = 6 - 2 = 4 (cm)\)

Vì \(IH \bot BC\) và \(DC \bot BC\) nên \(IH // DC\) (1)

Mặt khác: \(BH = HC\) (cmt)  (2)

Từ (1) và (2) ta có \(IH\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\).

Suy ra: \(IH =\displaystyle {1 \over 2}CD\) hay \(CD = 2.IH\)\( = 2.4 = 8 (cm)\)

Ta có:  

\({S_{ABH}} = \displaystyle {1 \over 2}AH.BH = {1 \over 2}.6.8\)\( = 24\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Vì \(AH//DC\) nên AHCD là hình thang và \(AH\bot HC\) nên HC là chiều cao của hình thang AHCD. Từ đó: 

\({S_{AHCD}} = \displaystyle {{AH + CD} \over 2}.HC = {{6 + 8} \over 2}.8\)\( = 56\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy \({S_{ABCD}} = S{  _{ABH}} + {S_{AHCD}} = 24 + 56\)\( = 80\,\) (cm²)

Loigiaihay.com