Bài 8* trang 37 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC.\) Tia phân giác của góc \(A\) cắt \(BC\) ở \(D.\) So sánh các độ dài \(BD, DC.\)

Lời giải chi tiết

Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AB\) 

Vì \(AB < AC\) nên \(AE < AC\)

Suy ra \(E\) nằm giữa \(A\) và \(C\)

Xét \(∆ABD\) và \(∆AED\) ta có:

+) \(AB = AE\) (theo cách vẽ)    

+) \(\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {E{\rm{AD}}}\) (vì AD là phân giác góc BAC)

+) \(AD\) cạnh chung

Do đó: \(∆ABD = ∆AED\) (c.g.c)

Suy ra \(BD = DE\) (2 cạnh tương ứng)

và \( \widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {A{\rm{ED}}}\) (2 góc tương ứng)

Mà: \(\widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {{B_1}} = 180^\circ \) (2 góc kề bù)

\(\widehat {A{\rm{ED}}} + \widehat {{E_1}} = 180^\circ \) (2 góc kề bù)

Suy ra: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{E_1}}\)

Trong \(∆ABC\) ta có \(\widehat {{B_1}}\) là góc ngoài tại đỉnh \(B.\)

\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} > \widehat C\) (góc ngoài tại một đỉnh của tam giác lớn hơn góc trong không kề với đỉnh đó)

Suy ra: \(\widehat {{E_1}} > \widehat C\)

Trong \(∆DEC\) ta có: \(\widehat {{E_1}} > \widehat C\)

\( \Rightarrow  DC > DE\)  (cạnh đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn) mà \(DE=BD\) (chứng minh trên)

Suy ra: \(BD < DC.\) 

Loigiaihay.com