Bài 73 trang 169 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) tiếp xúc ngoài tại \(A.\) Gọi \(CD\) là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn \(( C ∈ (O),\)\( D ∈ (O’)).\)

\(a) \) Tính số đo góc \(CAD.\)

\(b) \) Tính độ dài \(CD\) biết \( OA = 4,5cm,\)\( O’A = 2cm.\)

Lời giải chi tiết

\(a)\) Kẻ tiếp tuyến chung tại \(A\) cắt \(CD\) tại \(M\)

Trong đường tròn \((O)\) có MA và MC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:

\(MA =  MC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Trong đường tròn \((O’)\) có MA và MD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:

\(MA =  MD\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: \(MA = MC = MD = \displaystyle {1 \over 2}CD\)

Tam giác \(ACD\) có đường trung tuyến \(AM\) ứng với cạnh \(CD\) và bằng nửa cạnh \(CD\) nên tam giác \(ACD\) vuông tại \(A\)

Suy ra: \(\widehat {CAD} = 90^\circ \)

b) Trong đường tròn \((O)\) có MA và MC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:

\(MO\) là tia phân giác của \(\widehat {CMA}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Trong đường tròn \((O’)\) có MA và MD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:

\(MO’\) là tia phân giác của \(\widehat {DMA}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà \(\widehat {CMA}\) và \(\widehat {DMA}\) là 2 góc kề bù

Suy ra: \(MO ⊥ MO’\) (tính chất về tia phân giác của hai góc kề bù)

Tam giác \(MOO’\) vuông tại \(M\) có \(MA ⊥ OO’\) ( tính chất tiếp tuyến)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(MA^2= OA.O’A = 4,5.2 = 9 \)\(⇒ MA = 3\; (cm)\)

Mà \(MA = \displaystyle{1 \over 2}CD \)\(⇒ CD = 2.MA = 2.3 = 6\; (cm)\)

Loigiaihay.com