Bài 75 trang 169 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn \((O; 3cm)\) và đường tròn \((O’; 1cm)\) tiếp xúc ngoài tại \(A.\) Vẽ hai bán kính \(OB\) và \(O’C\) song song với nhau thuộc cùng nửa mặt phẳng có bờ \(OO’.\)

\(a)\) Tính số đo góc \(BAC.\)

\(b)\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BC\) và \(OO’.\) Tính độ dài \(OI.\)

Lời giải chi tiết

\(a)\) Ta có: \(OB // O’C\;\;(gt)\)

Suy ra:     \(\widehat {AOB} + \widehat {AO'C} = 180^\circ \) (hai góc trong cùng phía)

Xét đường tròn (O) ta có: \(OA = OB ( = 3cm)\)

\(⇒\) Tam giác \(AOB\) cân tại \(O.\)

\(⇒\widehat {BAO}=\widehat {OBA}\) và \(\widehat {BAO}+\widehat {OBA}+\widehat {BOA}=180^0\) (tổng ba góc trong tam giác) 

Suy ra:    \(\widehat {BAO} = \displaystyle {{180^\circ  - \widehat {AOB}} \over 2}\)

Xét đường tròn (O') ta có: \(O'A = O'C ( = 1cm)\)

\(⇒\) Tam giác \(AO'C\) cân tại \(O'\)

\(⇒\widehat {CAO'}=\widehat {O'CA}\) và \(\widehat {CAO'}+\widehat {O'CA}+\widehat {CO'A}=180^0\) (tổng ba góc trong tam giác) 

Suy ra: \(\widehat {CAO'} = \displaystyle{{180^\circ  - \widehat {AO'C}} \over 2}\)

Ta có: \(\displaystyle\widehat {BAO} + \widehat {CAO'}\)\(\displaystyle = {{180^\circ  - \widehat {AOB}} \over 2} + {{180^\circ  - \widehat {AO'C}} \over 2}\)

\(\displaystyle = {{180^\circ  + 180^\circ  - (\widehat {AOB} + \widehat {AO'C})} \over 2}\)

\(\displaystyle = {{180^\circ  + 180^\circ  - 180^\circ } \over 2} = 90^\circ \)

Lại có:   \(\widehat {BAO} + \widehat {BAC} + \widehat {CAO'} = 180^\circ \)

Suy ra:   \(\widehat {BAC} = 180^\circ  - (\widehat {BAO} + \widehat {CAO'})\)

\( = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \)

\(b)\) Trong tam giác \(IBO,\) ta có: \(OB // O'C\)

Suy ra: \(\displaystyle{{IO'} \over {IO}} = {{O'C} \over {OB}}\) ( hệ quả định lí Ta-lét)

Suy ra: \(\displaystyle{{IO'} \over {IO}} = {1 \over 3} \Rightarrow {{IO - IO'} \over {IO}}\)

\(\displaystyle = {{3 - 1} \over 3} \Rightarrow {{OO'} \over {IO}} = {2 \over 3}\)

Mà \(OO’ = OA + O’A = 3 + 1 = 4 (cm)\)

Suy ra: \(\displaystyle{4 \over {IO}} = {2 \over 3} \)\(\displaystyle \Rightarrow IO = {{4.3} \over 2} = 6 (cm).\)

Loigiaihay.com