Giải bài 7 trang 11 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Chứng minh rằng a) (tan x > x) với mọi (x in left( {0;frac{pi }{2}} right)); b) (ln x le x - 1) với mọi (x > 0).

Quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng

a) \(\tan x > x\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\);

b) \(\ln x \le x - 1\) với mọi \(x > 0\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đưa về xét hàm số, lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng.

Lời giải chi tiết

a) Đặt \(f\left( x \right) = \tan x - x\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 = \frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Bảng biến thiên:

Do đó \(f'\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Suy ra \(\tan x - x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Vậy \(\tan x > x\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

b) Đặt \(f\left( x \right) = \ln x - x + 1\) với mọi \(x > 0\).

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{{1 - x}}{x};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Bảng biến thiên:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Do đó \(f\left( x \right) \le f\left( 1 \right) = 0\) với mọi \(x > 0\).

Suy ra \(\ln x - x + 1 \le 0\) với mọi \(x > 0\).

Vậy \(\ln x \le x - 1\) với mọi \(x > 0\).

  • Giải bài 8 trang 11 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Chứng minh rằng: a) Phương trình \({x^3} + 5{x^2} - 8{\rm{x}} + 4 = 0\) có duy nhất một nghiệm. b) Phương trình \( - {x^3} + 3{x^2} + 24x - 1 = 0\) có ba nghiệm phân biệt.

  • Giải bài 9 trang 11 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Tìm \(m\) để phương trình \(\frac{{{x^2} + x + 4}}{{x + 1}} = m\) có hai nghiệm phân biệt.

  • Giải bài 10 trang 11 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Một chất điểm chuyển động lên, xuống theo phương thẳng đứng. Độ cao \(h\left( t \right)\) của chất điểm tại thời điểm \(t\) (giây) được cho bởi công thức \(h\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} - 4{t^2} + 12t + 1\) với \(0 \le t \le 8\). a) Viết công thức tính vận tốc của chất điểm. b) Trong khoảng thời gian nào chất điểm chuyển động lên, trong thời gian nào chất điểm chuyển động đi xuống?

  • Giải bài 11 trang 11 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Độ cao (tính bằng mét) của tàu lượn siêu tốc so với mặt đất sau \(t\)(giây) \(\left( {0 \le t \le 20} \right)\) từ lúc bắt đầu được cho bởi công thức \(h\left( t \right) = - \frac{4}{{255}}{t^3} + \frac{{49}}{{85}}{t^2} - \frac{{98}}{{17}}t + 20\). Trong khoảng thời gian nào tàu lượn đi xuống, trong khoảng thời gian nào tàu lượn đi lên?

  • Giải bài 12 trang 12 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Cho điểm \(A\) di động trên nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính \(MN = 20{\rm{ }}cm,\widehat {MOA} = \alpha \) với \(0 \le \alpha \le \pi \). Lấy điểm \(B\) thuộc nửa đường tròn và \(C,D\) thuộc đường kính \(MN\) được xác định sao cho \(ABCD\) là hình chữ nhật. Khi \(A\) di động từ trái sang phải, trong các khoảng nào của \(\alpha \) thì diện tích của hình chữ nhật \(ABCD\) tăng, trong các khoảng nào của \(\alpha \) thì diện tích của hình chữ nhật \(ABCD\) giảm?

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close