Giải bài 7 trang 11 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạoChứng minh rằng a) (tan x > x) với mọi (x in left( {0;frac{pi }{2}} right)); b) (ln x le x - 1) với mọi (x > 0). Quảng cáo
Đề bài Chứng minh rằng a) \(\tan x > x\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\); b) \(\ln x \le x - 1\) với mọi \(x > 0\). Phương pháp giải - Xem chi tiết Đưa về xét hàm số, lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng. Lời giải chi tiết a) Đặt \(f\left( x \right) = \tan x - x\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 = \frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Bảng biến thiên:
Do đó \(f'\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Suy ra \(\tan x - x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Vậy \(\tan x > x\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). b) Đặt \(f\left( x \right) = \ln x - x + 1\) với mọi \(x > 0\). Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{{1 - x}}{x};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\). Bảng biến thiên:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\). Do đó \(f\left( x \right) \le f\left( 1 \right) = 0\) với mọi \(x > 0\). Suy ra \(\ln x - x + 1 \le 0\) với mọi \(x > 0\). Vậy \(\ln x \le x - 1\) với mọi \(x > 0\).  Chia sẻ Bình luận
Quảng cáo
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
|
