Giải bài 12 trang 12 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạoCho điểm \(A\) di động trên nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính \(MN = 20{\rm{ }}cm,\widehat {MOA} = \alpha \) với \(0 \le \alpha \le \pi \). Lấy điểm \(B\) thuộc nửa đường tròn và \(C,D\) thuộc đường kính \(MN\) được xác định sao cho \(ABCD\) là hình chữ nhật. Khi \(A\) di động từ trái sang phải, trong các khoảng nào của \(\alpha \) thì diện tích của hình chữ nhật \(ABCD\) tăng, trong các khoảng nào của \(\alpha \) thì diện tích của hình chữ nhật \(ABCD\) giảm? Quảng cáo
Đề bài Cho điểm \(A\) di động trên nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính \(MN = 20{\rm{ }}cm,\widehat {MOA} = \alpha \) với \(0 \le \alpha \le \pi \). Lấy điểm \(B\) thuộc nửa đường tròn và \(C,D\) thuộc đường kính \(MN\) được xác định sao cho \(ABCD\) là hình chữ nhật. Khi \(A\) di động từ trái sang phải, trong các khoảng nào của \(\alpha \) thì diện tích của hình chữ nhật \(ABCD\) tăng, trong các khoảng nào của \(\alpha \) thì diện tích của hình chữ nhật \(ABCD\) giảm? Phương pháp giải - Xem chi tiết Lập hàm số \(y = f\left( \alpha \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\), lập bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Lời giải chi tiết Ta có: \(A{\rm{D}} = OA\sin \alpha = 10\sin \alpha ;O{\rm{D}} = OA\cos \alpha = 10\cos \alpha ;C{\rm{D}} = 2{\rm{OD}} = 20\cos \alpha \). Diện tích hình chữ nhật là: \(AD.C{\rm{D}} = 10\sin \alpha .20\cos \alpha = 200\sin \alpha \cos \alpha = 100\sin 2\alpha \). Xét hàm số \(f\left( \alpha \right) = 100\sin 2\alpha \) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\). Ta có: \(f'\left( \alpha \right) = 200\cos 2\alpha ;f'\left( \alpha \right) = 0 \Leftrightarrow \alpha = \frac{\pi }{4}\) hoặc \(\alpha = \frac{{3\pi }}{4}\). Bảng biến thiên: Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\) và \(\left( {\frac{{3\pi }}{4};\pi } \right)\), hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right)\). Vậy diện tích hình chữ nhật tăng trên các khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\) và \(\left( {\frac{{3\pi }}{4};\pi } \right)\), diện tích hình chữ nhật giảm trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right)\).
Quảng cáo
|