Bài 6.2 phần bài tập bổ sung trang 106 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\) và điểm \(A\) (khác \(O\)) ở trong đường tròn đó. Một đường thẳng \(d\) thay đổi, luôn đi qua \(A,\) cắt đường tròn đã cho tại hai điểm là \(B\) và \(C.\) Tìm quỹ tích trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(BC.\)

Lời giải chi tiết

Chứng minh thuận:

Đường tròn \((O)\) cho trước, điểm \(A \)cố định nên \(OA\) có độ dài không đổi.

\(∆OBC\) cân tại \(O\) (vì \(OB = OC\) = bán kính)

\(  IB = IC \;\;(gt)\) nên \(OI\) là đường trung tuyến vừa là đường cao

\( \Rightarrow  OI ⊥ BC\)

\( \Rightarrow \widehat {OIA} = 90^\circ \)

Đường thẳng \(d\) thay đổi nên \(B, C\) thay đổi thì \(I\) thay đổi tạo với \(2\) đầu đoạn \(OA\) cố định góc \(\widehat {OIA} = 90^\circ \). Vậy \(I\) chuyển động trên đường tròn đường kính \(OA.\)

Chứng minh đảo:

Lấy điểm \(I’\) bất kỳ trên đường tròn đường kính \(AO.\) Đường thẳng \(AI’\) cắt đường tròn (O) tại \(2\) điểm \(B’\) và \(C’.\)

Ta chứng minh: \(I’B = I’C’.\)

Trong đường tròn đường kính \(AO\) ta có \(\widehat {OI'A} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow  OI'⊥ B'C'\)

\( \Rightarrow  I'B' = I'C' \) (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm dây cung đó)

Vậy quỹ tích các điểm \(I\) là trung điểm của dây \(BC\) của đường tròn tâm \(O\) khi \(BC\) quay xung quanh điểm \(A\) cố định là đường tròn đường kính \(AO.\)

Loigiaihay.com