Bài 46 trang 12 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Với \(a\) dương, chứng minh:

\(a + \dfrac{1}{a} \ge 2\).  

Lời giải chi tiết

Cách 1: Với \(a\) dương, ta có:  

\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt a - {1 \over {\sqrt a }}} \right)^2} \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow a - 2\sqrt a .{1 \over {\sqrt a }} + {1 \over a} \ge 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow a - 2 + \dfrac{1}{a} \ge 0 \Leftrightarrow a + \dfrac{1}{a} \ge 2\)

Cách 2:

Ta có: \(a > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{a} > 0\) 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương \(a\) và \(\dfrac{1}{a}\):

\(\begin{array}{l}
a + \dfrac{1}{a} \ge 2\sqrt {a.\dfrac{1}{a}} \\
\Leftrightarrow a + \dfrac{1}{a} \ge 2
\end{array}\)

 Dấu "=" xảy ra khi \(a = \dfrac{1}{a}\).

Loigiaihay.com