Bài 45 trang 12 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Với $a ≥ 0, b ≥ 0$, chứng minh 

$\displaystyle\sqrt {{{a + b} \over 2}}  \ge {{\sqrt a  + \sqrt b } \over 2}.$ 

Lời giải chi tiết

Vì $a ≥ 0$ nên $\sqrt a$ xác định, $b ≥ 0$ nên $\sqrt b$ xác định.

Ta có:

${\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0$
$\Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0$

$\Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab}$

$\Leftrightarrow a + b + a + b \ge a + b + 2\sqrt {ab}$

$\Leftrightarrow 2(a + b) \ge {\left( {\sqrt a } \right)^2} + 2\sqrt {ab}  + {\left( {\sqrt b } \right)^2}$

$\Leftrightarrow 2(a + b) \ge {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2}$ 
$\displaystyle \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}} \over 4}$

$\displaystyle  \Leftrightarrow \sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge \sqrt {{{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}} \over 4}}$ 
$\displaystyle \Leftrightarrow \sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge {{\sqrt a + \sqrt b } \over 2}$ 

Loigiaihay.com