Bài 3.36 trang 160 SBT hình học 11

Giải bài 3.36 trang 160 sách bài tập hình học 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) ...

Quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) với \(SA = a\sqrt 6 \).

a) Tính khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD).

b) Tính khoảng cách từ  đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC)

Lời giải chi tiết

a) Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a nên ta có: \(A{\rm{D}}\parallel BC\) và \(AB = BC = C{\rm{D}} = a\), đồng thời \(AC \bot C{\rm{D}},AB \bot B{\rm{D}},AC = B{\rm{D}} = a\sqrt 3 \).

Như vậy

\(\left. \matrix{
C{\rm{D}} \bot AC \hfill \cr 
C{\rm{D}} \bot SA \hfill \cr} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left( {SAC} \right)\)

Trong mặt phẳng (SAC) dựng AH ⊥ SC tại H ta có AH ⊥ CD và AH ⊥ SC nên AH ⊥ (SCD)

Vậy AH = d(A,(SCD))

Xét tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao, ta có:

\(\eqalign{
& {1 \over {A{H^2}}} = {1 \over {S{A^2}}} + {1 \over {A{C^2}}} \cr 
& = {1 \over {{{\left( {a\sqrt 6 } \right)}^2}}} + {1 \over {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} = {1 \over {2{{\rm{a}}^2}}} \cr} \)

Vậy \(A{H^2} = 2{{\rm{a}}^2} \Rightarrow AH = a\sqrt 2 \)

Gọi I là trung điểm của AD ta có \(BI\parallel C{\rm{D}}\) nên BI song song với mặt phẳng (SCD). Từ đó suy ra \(d\left( {B,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right)\).

Mặt khác AI cắt (SCD) tại D nên

\(d\left( {I,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right) = {1 \over 2}d\left( {A,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right) = {1 \over 2}.a\sqrt 2  = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)

Do đó: \(d\left( {B,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right) = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)

b) Vì \(AD\parallel BC\) nên \(AD\parallel \left( {SBC} \right)\), do đó \(d\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\)

Dựng \(AD \bot BC\) tại \(E \Rightarrow BC \bot \left( {SA{\rm{E}}} \right)\)

Dựng \(AD \bot SE\) tại F ta có:

\(\left. \matrix{
AF \bot SE \hfill \cr 
AF \bot BC\,\left( {vì\,BC \bot \left( {SAE} \right)} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AF \bot \left( {SBC} \right)\)

Vậy \(AF = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right)\)

Xét tam giác vuông AEB ta có: \(AE = AB\sin \widehat {ABE} = a\sin {60^0} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

Xét tam giác SAE vuông tại A ta có:

\({1 \over {A{F^2}}} = {1 \over {S{A^2}}} + {1 \over {A{E^2}}} = {1 \over {{{\left( {a\sqrt 6 } \right)}^2}}} + {1 \over {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)}} = {9 \over {6{a^2}}}\) 

Do đó \(A{F^2} = {{6{a^2}} \over 9} \Rightarrow AF = {{a\sqrt 6 } \over 3}\)

Vậy \(d\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right) = AF = {{a\sqrt 6 } \over 3}\)

Loigiaihay.com

Xem thêm tại đây: Bài 5: Khoảng cách
  • Bài 3.37 trang 160 SBT hình học 11

    Bài 3.37 trang 160 sách bài tập hình học 11. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối trong một tứ diện đều cạnh a.

  • Bài 3.38 trang 160 SBT hình học 11

    Giải bài 3.38 trang 160 sách bài tập hình học 11. Tính khoảng cách giữa hai cạnh AB và CD của hình tứ diện ABCD biết rằng AC=BC=AD=BD=a và AB=p; CD=q.

  • Bài 3.39 trang 160 SBT hình học 11

    Giải bài 3.39 trang 160 sách bài tập hình học 11. Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác đáy ABC...

  • Bài 3.40 trang 160 SBT hình học 11

    Giải bài 3.40 trang 160 sách bài tập hình học 11. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt phẳng đáy góc 60°...

  • Bài 3.35 trang 160 SBT hình học 11

    Giải bài 3.35 trang 160 sách bài tập hình học 11. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. a) Chứng minh đường thẳng BC’ vuông góc với mặt phẳng (A’B’CD)...

Quảng cáo
list
close
Gửi bài