Bài 3.2 trang 129 SBT hình học 11

Đề bài

Trong không gian cho điểm \(O\) và bốn điểm \(A, B, C, D\) phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm \(A, B, C, D\) tạo thành một hình bình hành là:

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {O{\rm{D}}} \)

Lời giải chi tiết

Giả sử bốn điểm \(A, B, C, D\) tạo thành một hình bình hành ta có:

\(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {A{\rm{D}}}  \) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {O{\rm{D}}}  - \overrightarrow {OA} \) (với điểm O bất kì )

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {O{\rm{D}}}  + \overrightarrow {OB} \)

Ngược lại, giả sử ta có hệ thức:

\(\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {O{\rm{D}}}  + \overrightarrow {OB} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {O{\rm{D}}}  - \overrightarrow {OA} \) 

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {A{\rm{D}}} \) 

Vì \(A, B, C, D\) không thẳng hàng nên tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

 Loigiaihay.com