Giải bài 3 trang 25 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạoTính: a) (intlimits_1^2 {frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx} ); b) (intlimits_1^2 {frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} ); c) (intlimits_0^1 {frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} ); d) (intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}} {frac{{1 + {{sin }^2}x}}{{1 - {{cos }^2}x}}dx} ). Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh Quảng cáo
Đề bài Tính: a) \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx} \); b) \(\int\limits_1^2 {\frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} \); c) \(\int\limits_0^1 {\frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} \); d) \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx} \). Phương pháp giải - Xem chi tiết ‒ Sử dụng các công thức: • \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\). • \(\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C\). • \(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\). • \(\int {\cos xdx} = \sin x + C\). Lời giải chi tiết a) \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + x + 1 + \frac{1}{x} + {x^{ - 2}}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + x + \ln \left| x \right| - \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^2 = \ln 2 + \frac{{16}}{3}\). b) \(\int\limits_1^2 {\frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {{e^x} + \frac{1}{x}} \right)dx} = \left. {\left( {{e^x} + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2 = {e^2} - e + \ln 2\). c) \(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{{2^{3x}} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{2^x} + 1} \right)\left( {{2^{2x}} - {2^x} + 1} \right)}}{{{2^x} + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{4^x} - {2^x} + 1} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + x} \right)} \right|_0^1 = 1 + \frac{1}{{2\ln 2}}\end{array}\) d) \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + 1} \right)dx} = \left. {\left( { - \cot x + x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} = 1 + \frac{\pi }{4}\).
Quảng cáo
|