Bài 2.59 trang 105 SBT hình học 10

Giải bài 2.59 trang 105 sách bài tập hình học 10. Cho tam giác ABC có ...

Quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác ABC có \(AB = c,AC = b\)(với \(b \ne c\)), phân giác trong AD = k (D nằm trên cạnh BC), BD = d, CD = e. Chứng minh hệ thức: \({k^2} = bc - de\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định lý cô sin cho các tam giác \(ABD\) và \(ACD\).

Lời giải chi tiết

Ta có AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC nên \(\widehat {BAD} = \widehat {DAC}\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {BAD} = \cos\widehat {DAC}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{A{B^2} + A{D^2} - B{D^2}}}{{2AB.AD}}\)\( = \dfrac{{A{C^2} + A{D^2} - C{D^2}}}{{2AC.AD}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{c^2} + {k^2} - {d^2}}}{{2c.k}} = \dfrac{{{b^2} + {k^2} - {e^2}}}{{2b.k}}\) \( \Rightarrow b\left( {{c^2} + {k^2} - {d^2}} \right) = c\left( {{b^2} + {k^2} - {e^2}} \right)(*)\)

Vì AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC nên \(\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\)

\( \Rightarrow DB.AC = DC.AB\) \( \Rightarrow bd = ce\)

Từ (*) ta suy ra 

\(\begin{array}{l}
\left( * \right) \Leftrightarrow b{c^2} + b{k^2} - b{d^2} = c{b^2} + c{k^2} - c{e^2}\\
\Leftrightarrow b{c^2} - c{b^2} + b{k^2} - c{k^2} + c{e^2} - b{d^2} = 0\\
\Leftrightarrow bc\left( {c - b} \right) + \left( {b - c} \right){k^2} + bd.e - ce.d = 0\\
\Leftrightarrow - bc\left( {b - c} \right) + \left( {b - c} \right){k^2} + de\left( {b - c} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {b - c} \right)\left( { - bc + {k^2} + de} \right) = 0\\
\Leftrightarrow - bc + {k^2} + de = 0\\
\Leftrightarrow {k^2} = bc - de
\end{array}\)

(vì \(b \ne c\)) (điều phải chứng minh)

Loigiaihay.com

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close