Bài 2.30 trang 78 SBT hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh $AD$ và $BC$ sao cho $\dfrac{IA}{ID} = \dfrac{JB}{JC}$. Chứng minh rằng $IJ$ luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.

Lời giải chi tiết

Qua $I$ kẻ đường thẳng song song với $CD$ cắt $AC$ tại $H$ nên ta có:

$\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{IA}{ID}$.

Mà $\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{JB}{JC}$.

Từ đó suy ra $\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{JB}{JC}$.

Theo định lý Talet suy ra $HJ\parallel AB$ mà $HJ\subset (IJH)$ $\Rightarrow AB\parallel (IJH)$ $\text{  (1)}$

Theo cách dựng $IH\parallel CD$, $IH\subset (IJH)$ $\Rightarrow CD\parallel (IJH)$ $\text{  (2)}$

Từ $\text{(1)}$ và $\text{(2)}$ suy ra $(IJH)\parallel AB, CD$.

Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua $AB$ và song song với $CD$.

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}(\alpha )\parallel ({\rm{IJ}}H)\\{\rm{IJ}} \subset ({\rm{IJ}}H)\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{IJ}}\parallel (\alpha )$

Vậy $IJ$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$ cố định.

 Loigiaihay.com