Bài 2.13 trang 68 SBT hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\), \(R\) và \(S\) lần lượt trung điểm của \(AB, CD, BC, AD, AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng tứ giác \(MPNQ\) là hình bình hành. Từ đó suy ra ba đoạn thẳng \(MN, PQ\) và \(RS\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.

Lời giải chi tiết

Trong tam giác \(ABC\) ta có: \(MP\parallel AC\) và \(MP = \dfrac{AC}{2}\).

Trong tam giác \(ACD\) ta có: \(QN \parallel AC\) và \(QN = \dfrac{AC}{2}\).

Từ đó suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}MP\parallel QN\\ MP = QN\end{array} \right.\)

⇒ Tứ giác \(MPNQ\) là hình bình hành.

Do vậy hai đường chéo \(MN\) và \(PQ\) cắt nhau tại trung điểm \(O \) của mỗi đường.

Tương tự: \(PR \parallel QS\) và \(PR = QS = \dfrac{AB}{2}\).

Do đó tứ giác \(PRQS\) là hình bình hành.

Suy ra hai đường chéo \(PQ\) và \(RS\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của \(PQ\) và \(OR = OS\)

Vậy ba đoạn thẳng \(MN, PQ\) và \(RS\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.

Loigiaihay.com