Bài 18 trang 102 SBT toán 9 tập 2

Giải bài 18 trang 102 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M vẽ một cát tuyến bất kì cắt đường tròn ở A và B. Chứng minh rằng tích MA.MB không đổi.

Quảng cáo

Đề bài

Cho đường tròn \((O)\) và một điểm \(M\) cố định không nằm trên đường tròn. Qua \(M\) vẽ một cát tuyến bất kì cắt đường tròn ở \(A\) và \(B.\) Chứng minh rằng tích \(MA.MB\) không đổi. 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Lời giải chi tiết

* Trường hợp \(M\) ở bên trong đường tròn \((O)\)

Kẻ cát tuyến \(MAB\) bất kì của \((O)\) và đường thẳng \(MO\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(C\) và \(D.\)

Xét hai \(∆MAC\) và \(∆MDB:\)

+) \(\widehat {AMC} = \widehat {BMD}\) (đối đỉnh)

+) \(\widehat {A} = \widehat D\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(\overparen{BC}\))

Suy ra: \(∆MAC\) đồng dạng \(∆MDB\) \((g.g)\)

\( \Rightarrow \displaystyle {{MA} \over {MD}} = {{MC} \over {MB}}\)

\( \Rightarrow MA.MB = MC.MD\)            \((1)\)

Vì \(M, O\) cố định suy ra điểm \(C\) và \(D\) cố định nên độ dài của các đoạn \(MC\) và \(MD\) không đổi, suy ra tích \(MC.MD\) không đổi   \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra tích \(MA. MB\) không đổi khi cát tuyến \(MAB\) thay đổi.

* Trường hợp điểm \(M\) ở ngoài đường tròn \((O)\)

 

Kẻ cát tuyến \(MAB\) bất kỳ của \((O)\) và đường thẳng \(MO\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(C\) và \(D\)

Xét \(∆MAD\) và \(∆MCB:\)

+) \(\widehat M\) chung

+) \(\widehat B = \widehat D\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(\overparen{AC}\))

Suy ra: \(∆MAD\) đồng dạng \(∆MCB\;\; (g.g)\)

\( \Rightarrow \displaystyle {{MC} \over {MA}} = {{MB} \over {MD}} \)

\(\Rightarrow MA.MB = MC.MD\)   \( (3)\)

Vì \(M\) và \(O\) cố định suy ra điểm \(C, D\) cố định nên độ dài của các đoạn \(MC\) và \(MD\) không đổi, suy ra tích \(MC. MD\) không đổi   \((4)\)

Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra tích \(MA. MB\) không đổi khi cát tuyến \(MAB\) thay đổi.

Loigiaihay.com

  • Bài 19 trang 102 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 19 trang 102 sách bài tập toán 9. Để giúp xe lửa chuyển từ một đường ray từ hướng này sang một đường ray theo hướng khác, người ta làm xen giữa một đoạn đường ray hình vòng cung...

  • Bài 20 trang 102 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 20 trang 102 sách bài tập toán 9.Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm của cung nhỏ BC. Trên MA lấy điểm D sao cho MD = MB...

  • Bài 21 trang 102 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 21 trang 102 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O,...

  • Bài 22 trang 102 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 22 trang 102 sách bài tập toán 9.Vẽ một tam giác vuông biết cạnh huyền là 4cm và đường cao ứng với cạnh huyền là 1,5cm.

  • Bài 23 trang 103 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 23 trang 103 sách bài tập toán 9. Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn tâm O...

Quảng cáo

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

close