Bài 1.75 trang 42 SBT hình học 11

Đề bài

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(2x + y - 3 = 0\). Phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k = 2\) biến \(d\) thành đường thẳng có phương trình

A. \(2x + y + 3 = 0\)

B. \(2x + y - 6 = 0\)

C. \(4x - 2y - 3 = 0\)

D. \(4x + 2y - 5 = 0\)

Lời giải chi tiết

Gọi phương trình \(d':2x + y + c = 0\).

Lấy \(A\left( {0;3} \right) \in d\), gọi \(A' = {V_{\left( {O;2} \right)}}\left( A \right)\) thì \(\overrightarrow {OA'}  = 2\overrightarrow {OA} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - 0 = 2\left( {0 - 0} \right)\\y' - 0 = 2\left( {3 - 0} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 0\\y' = 6\end{array} \right.\).

Suy ra \(A'\left( {0;6} \right)\).

Mà \(A' \in d'\) nên \(2.0 + 6 + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 6\).

Vậy \(d':2x + y - 6 = 0\).

Chọn B.

Cách khác:

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) bất kì thuộc d.

\(M' = {V_{\left( {O;2} \right)}}\left( M \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow {OM} \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x' = 2x\\
y' = 2y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{x'}}{2}\\
y = \frac{{y'}}{2}
\end{array} \right.\)

Do M thuộc d nên thay \(x = \frac{{x'}}{2}\) và \(y = \frac{{y'}}{2}\) vào phương trình của d ta được:

\(2.\frac{{x'}}{2} + \frac{{y'}}{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow 2x' + y' - 6 = 0\)

Vậy \(d':2x + y - 6 = 0\).

Loigiaihay.com