Bài 17 trang 159 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\) và dây \(EF\) không cắt đường kính. Gọi \(I\) và \(K\) lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ \(A\) và \(B\) đến \(EF\). Chứng minh rằng \(IE = KF.\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(AI ⊥ EF\) (gt)

           \(BK ⊥ EF\) (gt)

Suy ra: \(AI // BK\)

Suy ra tứ giác \(ABKI\) là hình thang

Kẻ \(OH ⊥ EF\)

Suy ra: \(OH // AI // BK\) (cùng vuông với IK)

Ta có: \(OA = OB (= R)\)

Như vậy hình thang \(ABKI\) có OH đi qua trung điểm cạnh bên AB và song song với hai đáy AI, BK nên OH đi qua trung điểm cạnh bên IK.

Suy ra: \(HI = HK\) 

Hay:         

\( HE + EI = HF+FK \)  (1)

Xét đường tròn (O) có OH là một phần đường kính, EF là dây của đường tròn.

Vì \(OH\bot EF\) nên \(HE = HF\)  (2) (quan hệ giữa đường kính và dây cung) 

Từ (1) và (2) suy ra:\( IE = KF.\)

Loigiaihay.com