Bài 1.57 trang 44 SBT hình học 10

Giải bài 1.57 trang 44 sách bài tập hình học 10. Cho tam giác ABC. Gọi M, N , P là những điểm được xác định như sau...

Quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M, N , P\) là những điểm được xác định như sau:\(\overrightarrow {MB}  = 3\overrightarrow {MC} ,\overrightarrow {NC}  = 3\overrightarrow {NA} ,\)\(\overrightarrow {PA}  = 3\overrightarrow {PB} \)

a) Chứng minh \(2\overrightarrow {OM}  = 3\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB} \) với mọi điểm \(O\).

b) Chứng minh hai tam giác \(ABC\) và \(MNP\) có cùng trọng tâm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Xen điểm \(M\) vào các véc tơ trong đẳng thức và chứng minh.

b) Chứng minh nếu \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) thì nó cũng là trọng tâm của \(\Delta MNP\).

Cụ thể, chứng minh \(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GP}  = \overrightarrow 0 \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(3\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB} \)\( = 3(\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MC} ) - (\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} )\)

\(\begin{array}{l}
= 3\overrightarrow {OM} + 3\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {OM} - \overrightarrow {MB} \\
= \left( {3\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OM} } \right) + \left( {3\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} } \right)\\
= 2\overrightarrow {OM} + \left( {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MB} } \right)\\
= 2\overrightarrow {OM} + \overrightarrow 0 \\
= 2\overrightarrow {OM}
\end{array}\)

b) Gọi \(S, Q\) và \(R\) lần lượt là trung điểm của \(BC, CA\) và \(AB\).

\(\overrightarrow {MB}  = 3\overrightarrow {MC}  \Rightarrow \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {SC} \); \(\overrightarrow {NC}  = 3\overrightarrow {NA}  \Rightarrow \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {CQ} \)

\(\overrightarrow {PA}  = 3\overrightarrow {PB}  \Rightarrow \overrightarrow {BP}  = \overrightarrow {RB}  = \overrightarrow {QS} \)

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) thì \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có:

\(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GP} \)\( = \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {BP} \) \( = \left( {\overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {BP} } \right)\)

\( = \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {CQ}  + \overrightarrow {QS} } \right)\)\( = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow 0 \)

Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(MNP\).

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Xem thêm tại đây: Ôn tập chương 1: Véc tơ
Gửi bài