Bài 15 trang 38 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A, M \) là trung điểm của \(AC.\) Gọi \(E\) và \(F\) là chân các đường vuông góc kẻ từ \(A\) và \(C\) đến đường thẳng \(BM.\) Chứng minh rằng \(\displaystyle AB < {{BE + BF} \over 2}.\) 

Lời giải chi tiết

Trong \(∆ABM\) có \(\widehat {BAM} = 90^\circ \) nên  \(∆ABM\) vuông tại A.

\( \Rightarrow AB < BM\) (trong tam giác vuông cạnh huyền lớn nhất)

Mà \(BM = BE + EM = BF – MF\)

Do đó: \(AB <  BE  + EM\)  (1)

Và \( AB <  BF – FM\) (2)

Suy ra:  \(AB  + AB  <  BE +  ME +  BF  - MF \)  (3)

Xét hai tam giác vuông \(AEM\) và \(CFM:\)

+) \(\widehat {A{\rm{E}}M} = \widehat {CFM} = 90^\circ \)

+) \(AM = CM\) (gt)

+) \(\widehat {AM{\rm{E}}} = \widehat {CMF}\) (đối đỉnh)

Suy ra: \(∆AEM = ∆CFM\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\( \Rightarrow ME = MF\)   (hai cạnh tương ứng)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra   :  \(AB  + AB <  BE + BF\)

\( \Rightarrow 2{\rm{A}}B < BE + BF \)\(\displaystyle \Rightarrow AB < {{BE + BF} \over 2}\)

Loigiaihay.com