Bài 14 trang 233 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 14 trang 233 sách bài tập đại số và giải tích 11. Hãy tính giới hạn...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hãy tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {x_n}\).

LG a

\({x_n} = \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\lim {x_n} = \lim \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\\ = \lim \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt {n\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}  + \sqrt n }}\\ = \lim \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt n \left( {\sqrt {1 + \frac{1}{n}}  + 1} \right)}}\\ = \lim \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}}  + 1}} = \frac{1}{{1 + 1}}\\ = \frac{1}{2}\end{array}\)

LG b

\({x_n} = \sqrt[3]{{1 + {n^3}}} - n\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\lim {x_n} = \lim \left( {\sqrt[3]{{1 + {n^3}}} - n} \right)\\ = \lim \frac{{\left( {1 + {n^3}} \right) - {n^3}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{1 + {n^3}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + {n^3}}}.n + {n^2}}}\\ = \lim \frac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{{1 + {n^3}}}} \right)}^2} + n.\sqrt[3]{{1 + {n^3}}} + {n^2}}}\\ = 0\end{array}\)

LG c

\({x_n} = {n^2}\left( {n - \sqrt {{n^2} + 1} } \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\lim {x_n} = \lim \left[ {{n^2}\left( {n - \sqrt {{n^2} + 1} } \right)} \right]\\ = \lim \frac{{{n^2}.\left[ {{n^2} - \left( {{n^2} + 1} \right)} \right]}}{{n + \sqrt {{n^2} + 1} }}\\ = \lim \frac{{{n^2}.\left( { - 1} \right)}}{{n + \sqrt {{n^2} + 1} }}\\ = \lim \left[ { - n.\frac{n}{{n + \sqrt {{n^2} + 1} }}} \right]\\ = \lim \left[ { - n.\frac{1}{{1 + \sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} }}} \right]\\ =  - \infty \end{array}\)

Vì \(\lim \left( { - n} \right) =  - \infty \); \(\lim \frac{1}{{1 + \sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} }} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2} > 0\).

LG d

\({x_n} = \sqrt[3]{{{n^2} - {n^3}}} + n\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\lim {x_n} = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^2} - {n^3}}} + n} \right)\\ = \lim \frac{{{n^2} - {n^3} + {n^3}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{n^2} - {n^3}}}} \right)}^2} - n.\sqrt[3]{{{n^2} - {n^3}}} + {n^2}}}\\ = \lim \frac{{{n^2}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{n^3}\left( {\frac{1}{n} - 1} \right)}}} \right)}^2} - n.\sqrt[3]{{{n^3}\left( {\frac{1}{n} - 1} \right)}} + {n^2}}}\\ = \lim \frac{{{n^2}}}{{{{\left( {n\sqrt[3]{{\frac{1}{n} - 1}}} \right)}^2} - n.n\sqrt[3]{{\frac{1}{n} - 1}} + {n^2}}}\\ = \lim \frac{{{n^2}}}{{{n^2}{{\left( {\sqrt[3]{{\frac{1}{n} - 1}}} \right)}^2} - {n^2}\sqrt[3]{{\frac{1}{n} - 1}} + {n^2}}}\\ = \lim \frac{{{n^2}}}{{{n^2}\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{\frac{1}{n} - 1}}} \right)}^2} - \sqrt[3]{{\frac{1}{n} - 1}} + 1} \right]}}\\ = \lim \frac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{{\frac{1}{n} - 1}}} \right)}^2} - \sqrt[3]{{\frac{1}{n} - 1}} + 1}}\\ = \frac{1}{{{{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 1} \right) + 1}} = \frac{1}{3}\end{array}\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài