Bài 1.4 phần bài tập bổ sung trang 123 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(\widehat A = 120^\circ \), \(AB = a,\) \(BC = b\). Các đường phân giác của bốn góc \(A, B, C, D\) cắt nhau tạo thành tứ giác \(MNPQ\). Tính diện tích tứ giác \(MNPQ\).

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình thoi nên \(\widehat {DCB} = \widehat {DAB} = {120^0},\) \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = {180^0} - \widehat {BAD} \)\(= {180^0} - {120^0} = {60^0}\)

Từ giả thiết suy ra:

\(\widehat {ADM} = \widehat {MAB} = \widehat {ABP} \)\(= \widehat {CBP} = \dfrac{{{{60}^0}}}{2} = {30^0}\) (tính chất tia phân giác)

\(\widehat {DAM} = \widehat {BAM} = \widehat {DCP} \)\(= \widehat {PCB} = \dfrac{{{{120}^0}}}{2} = {60^0}\) (tính chất tia phân giác) 

Tam giác ADM có \(\widehat {MDA} + \widehat {MAD} = {30^0} + {60^0} = {90^0}\) nên \(\widehat {AMD} = {180^0} - \left( {\widehat {MDA} + \widehat {MAD}} \right) \)\(= {180^0} - {90^0} = {90^0}\) \( \Rightarrow AM \bot DN \Rightarrow \widehat {NMQ} = {90^0}\)

Tam giác DNC có \(\widehat {NDC} + \widehat {NCD} = {30^0} + {60^0} = {90^0}\) nên \(\widehat {DNC} = {180^0} - \left( {\widehat {NDC} + \widehat {NCD}} \right) \)\(= {180^0} - {90^0} = {90^0}\) \( \Rightarrow  \widehat {MNP} = {90^0}\)

Tam giác BPC có \(\widehat {PBC} + \widehat {PCB} = {30^0} + {60^0} = {90^0}\) nên \(\widehat {BPC} = {180^0} - \left( {\widehat {PBC} + \widehat {PCB}} \right) \)\(= {180^0} - {90^0} = {90^0}\) \( \Rightarrow BP \bot CN \Rightarrow \widehat {NPQ} = {90^0}\)

Từ đó suy ra, tứ giác \(MNPQ\) có \(3\) góc vuông nên \(MNPQ\)  là hình chữ nhật.

Trong tam giác vuông ADM có \(DM = AD\sin \widehat {DAM} = b\sin 60^\circ\)\(  = \displaystyle {{b\sqrt 3 } \over 2}.\)

Trong tam giác vuông \(DCN\) ( \(N\) là giao của đường phân giác góc \(D\) và đường phân giác góc \(C\)) có \(DN = DC\sin \widehat {DCN}{\rm{ = a\sin60}}^\circ {\rm{ = }}\)\(\displaystyle {{a\sqrt 3 } \over 2}.\)

Vậy \( \displaystyle  MN = DN - DM = (a - b){{\sqrt 3 } \over 2}.\)

Trong tam giác vuông \(DCN\) có \( \displaystyle  CN = DC\cos \widehat {DCN}= CD\cos 60^\circ  = {a \over 2}.\) Trong tam giác vuông \(BCP\) ( \(P\) là giao của đường phân giác góc \(C\) với đường phân giác góc \(B\)) có \(CP =CB.\cos\widehat {PCB}=CB\cos 60^\circ  = \displaystyle {b \over 2}.\)

Vậy: \(NP = CN - CP = \displaystyle {{a - b} \over 2}.\)

Suy ra diện tích hình chữ nhật \(MNPQ\) là 

\(MN .NP = {(a - b)^2}\displaystyle {{\sqrt 3 } \over 4}\)

Loigiaihay.com