Bài 13 trang 202 SBT Hình học 10

Giải bài 13 trang 202 sách bài tập Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):(x - 1) + {(y - 2)^2} = 4 và hai điểm A(1 ; 4),...

Quảng cáo

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : \((x - 1) + {(y - 2)^2} = 4\)  và hai điểm A(1 ; 4),    \(B\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua B cắt đường tròn (C) tại M, N sao cho AMN có diện tích lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Đường tròn (C) có tâm I(1 ; 2) và có bán kính R = 2.

Ta có \({x_A} = {x_1} = {x_B} = 1\)

Suy ra A, I, B cùng thuộc đường thẳng có phương trình \(x = 1\) .

Ta có \(IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}}  = 2 = R\)

\(IB = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2} - 2} \right)}^2}}  = \frac{3}{2} < R.\)

Suy ra điểm A nằm trên đường tròn và điểm B nằm trong hình tròn.

Gọi H và K là hình chiếu của I và A xuống đường thẳng d.

Ta có

\(\frac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{IMN}}}} = \frac{{AK}}{{IH}} = \frac{{AB}}{{IB}} = \frac{{\frac{7}{2}}}{{\frac{3}{2}}} = \frac{7}{3}.\)

Suy ra \({S_{AMN}} = \frac{7}{3}{S_{IMN}}\)

\( = \frac{7}{3}.\frac{1}{2}.I{\rm{I}}\sin MIN\)

\( = \frac{{14}}{3}\sin MIN \le \frac{{14}}{3}.\)

\({S_{AMN}}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \sin MIN = 1 \Leftrightarrow \widehat {MIN} = {90^ \circ }\)

\( \Leftrightarrow IH = \frac{{R\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow d(I,MN) = \sqrt 2 \).

Phương trình đường thẳng MN là : \(y - \frac{1}{2} = k(x - 1) \) \(\Leftrightarrow 2kx - 2y + (1 - 2k) = 0.\)

Ta có \(d(I,MN) = \sqrt 2  \Leftrightarrow \frac{{\left| {2k - 4 + 1 - 2k} \right|}}{{\sqrt {4{k^2} + 4} }} = \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow 3 = \sqrt {8({k^2} + 1)}  \Leftrightarrow k =  \pm \frac{{\sqrt 2 }}{4}.\)

Vậy phương trình đường thẳng d là : \(y =  \pm \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {x - 1} \right) + \frac{1}{2}\) .

Loigiaihay.com

Xem thêm tại đây: BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM
  • Bài 14 trang 203 SBT Hình học 10

    Giải bài 14 trang 203 sách bài tập Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật biết tọa độ hai đỉnh đối diện là (1 ; -5) và (6 ; 2), phương trình của một đường chéo là 5x + 7y - 7 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật.

  • Bài 15 trang 203 SBT Hình học 10

    Giải bài 15 trang 203 sách bài tập Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AB:3x + 5y - 33 = 0 ; đường cao AH:7x + y - 13 = 0; trung tuyến BM:x + 6y - 24 = 0 (M là trung điểm của AC). Tìm phương trình các cạnh còn lại của tam giác.

  • Bài 16 trang 203 SBT Hình học 10

    Giải bài 16 trang 203 sách bài tập Hình học 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật có một đỉnh là O, diện tích bằng 12 và đường tròn ngoại tiếp (T) của có có phương trình là...

  • Bài 17 trang 203 SBT Hình học 10

    Giải bài 17 trang 203 sách bài tập Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn :...

  • Bài 18 trang 203 SBT Hình học 10

    Giải bài 18 trang 203 sách bài tập Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) :...

Quảng cáo
list
close
Gửi bài