Giải bài 12 trang 26 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Giả sử tốc độ tăng trưởng của một quần thể muỗi thoả mãn công thức

\(N'\left( t \right) = 0,2N\left( t \right),0 \le t \le 5\),

trong đó \(t\) là thời gian tính theo ngày, \(N\left( t \right)\) là số cá thể muỗi tại thời điểm. Biết rằng ban đầu quần thể muỗi có 2000 cá thể.

a) Đặt \(y\left( t \right) = \ln N\left( t \right),0 \le t \le 5\). Chứng tỏ rằng \(y'\left( t \right) = 0,2\). Từ đó, tìm \(N\left( t \right)\) với \(0 \le t \le 5\).

b) Tìm số lượng cá thể của quần thể muỗi sau 3 ngày (kết quả làm tròn đến hàng trăm).

Lời giải chi tiết

a) Theo đề bài ta có: \(N'\left( t \right) = 0,2N\left( t \right) \Leftrightarrow \frac{{N'\left( t \right)}}{{N\left( t \right)}} = 0,2\)

Ta có: \(y'\left( t \right) = {\left[ {\ln N\left( t \right)} \right]^\prime } = \frac{{N'\left( t \right)}}{{N\left( t \right)}} = 0,2\)

\(y\left( t \right) = \ln N\left( t \right) = \int {0,2dt}  = 0,2t + C\)

Do đó \(N\left( t \right) = {e^{0,2t + C}}\).

Vì ban đầu quần thể muỗi có 2000 cá thể nên \(N\left( 0 \right) = 2000 \Leftrightarrow {e^{0,2.0 + C}} = 2000 \Leftrightarrow C = \ln 2000\)

Vậy \(N\left( t \right) = {e^{0,2t + \ln 2000}} = {e^{0,2t}}.{e^{\ln 2000}} = 2000.{e^{0,2t}}\) với \(0 \le t \le 5\).

b) Số lượng cá thể của quần thể muỗi sau 3 ngày là: \(N\left( 3 \right) = 2000.{e^{0,2.3}} \approx 3600\) (cá thể).